青岛高三自评试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A D B BC A D B DC D A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. ?3或1 14. 11.15 15. ①②⑤ 16．2
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
f(x)?sin(2x?)?2cos2x6解：（Ⅰ）
??sin2xcos?6?cos2xsin?6?(cos2x?1)
??31sin2x?cos2x?1?sin(2x?)?1622 ?????????????????3分
2k???2?2x??6?2k???2(k?Z)得：
k???6?x?k???3(k?Z)
由
?5?[0,][,?]3，6所以，f(x)在?0,??上的单调递增区间为????????????6分
f(A)?sin(2A?)?1?0sin(2A?)?166（Ⅱ），则
?????6?0?A??，
?2A??6?11?????2A??A?6，62，3?????????8分
????向量m?(1,sinB)与向量n?(2,sinC)共线，?sinC?2sinB，
由正弦定理得，c?2b ?????????????????????????10分
a2?b2?c2?2bccos由余弦定理得，
?3，即a2?b2?4b2?2b2
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a??3b ??????????????????????????????12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当
AK?1AB4时，BC∥面
A z D F E C
DFK ????????????1分
证明如下：
设H为AB的中点，连结EH，则BC∥EH
x K H y B AK?又因为
1AB4，F为AE的中点
所以KF∥EH，所以KF∥BC，??????4分
?KF?面DFK，BC?面DFK，?BC∥面DFK?????????????5分
（Ⅱ）?H为AB的中点，?AH?HE?BC?1,
?F为AE的中点，?FH?AE.
?DA?DE?1， ?DF?AE，?面ADE?面ABCE，?DF?面ABCE
由此可以FA,FH,FD分别为
x,y,z轴，建立坐标系如图????????????7分
因为DF?面ABCE，所以DF?FH，又?FH?AE，DF?AE?F，
?????FH?面ADE，则FH为面ADE的一个法向量.
2????2FH?FH?(0,,0)2，2因为AB?2，BC?1，所以???????????9分 ????????222222AD?(?,0,)AH?(?,,0)D(0,0,)A(,0,0)22，222，2又可得：，所以
?设面ADB的法向量为n?(x,y,z)
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????????????n?AD?0???????????n?AH?0?由??????cos?FH,n??所以
22x?z?022??x?z?022??x?y?0?x?y?0，令x?1，则n?(1,1,1)?11分 22，即?223?2233?3，故二面角E?AD?B的余弦值为3???12分
19．（本小题满分12分）
解：设事件A={甲做对}，事件B={乙做对}，事件C={丙做对}，由题意知，
P(A)?1,P(B)?m,P(C)?n2.
P(??0)?P(ABC)?11(1?m)(1?n)?24（Ⅰ） 由题意知，
P(??3)?P(ABC)?11mn?224，
mn?整理得：
71m?n?12. 12，m?11n?3，4. ????????????????????4分
由m?n，解得
(??1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) （Ⅱ）由题意知a?P?11111(1?m)(1?n)?m(1?n)?(1?m)n?22224， ??????????5分
2?函数f(x)??2x?3?x?1在区间[?1,1]上不单调，
344x???(?1,1)?????433???0，或??1??????????7分 ?对称轴
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?P(E)?P(??0)?P(??1)?11117??42424?????????????????8分
1（Ⅲ）b?P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)=4，
E(?)?0?P(??0)?1?P(??1)?2?P(??2)?3?P(??3)?∴
1312 ?????10分
???12E(?)?10?3
故
? ? ??(1?2|x|)dx??(1?2|x|)dx ?3 3
??(1?2x)dx??(1?2x)dx?(x?x2)|0?(x?x2)|3??12?30 ?3 0
??????????????????12分
20．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题
0 3a1?a2???an?1?an??1??①
?a1?a2???an?an?1??1??②
an?1?2(n?2)a?2a?0an由①?②得：n?1，即n????????????????3分 a2?2a?a??1a?2?a?1a21当n?2时，1，，?2,1
所以，数列
{an}是首项为1，公比为2的等比数列
n?1*a?2n故（n?N）???????????????????????????5分 22an?1?an?2?dn?1?loga ?1?2nloga2n?1?a?25n（Ⅱ），
?dn?1?dn?2loga2，
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?{dn}是以d1?1?2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，???????8分 S2n?Sn2n(1?2loga2)?2n(2n?1)?(2loga2)22?(4n?2)loga2n(n?1)???n(1?2loga2)??(2loga2)1?(n?1)loga22
??(??4)nloga2?(??2)(1?loga2)?0 ?????????????????10分
?(??4)loga2?0S2n?S?n恒为一个与n无关的常数?，??(??2)(1?loga2)?0
解之得：??4，
a?12 ????????????????????????12分
21．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为F(1,0)为椭圆的右焦点，所以a?b?1??① ????????1分
22xy??1abAB的直线方程为，即bx?ay?ab?0
(ab)212d?2?22222a?b7，化简得12(a?b)?7ab??② ??????????3分 所以
2由①②得：a?4，b?3
22x2y2??1C3所以椭圆的方程为4 ??????????????????????4分
(Ⅱ) 设
M(x1,y1)、N(x2,y2)
91y12y12???1x?x2?1，则434 当直线l的斜率不存在时，1，解得
1143??MF?NF?NF32，则MF所以??????????????????6分
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