0 t<0 它们的积为： f1(t)·f2(t)= t 0
由此可得它们的波形分别如图1-11（c）和（d）所示。
本例也可由图1-11（a）和（b）画出f1(t)+f2(t) 和f1(t)·f2(t)的波形，然后写出它们的表达式，所得到的结果相同。 1-2-2 信号的导数与积分 信号f(t)的导数是指
df(t)或记作f’(t)，它表示信号值随时间变化的变化率。当f(t)含有dt不连续点时，由于引入了冲激函数的概念，f(t)在这些不连续点上仍有导数，即出现冲激，其强度为原函数在该处的跳变量。 信号f(t)的积分是指
?t??f(?)d?或记作f(–1)(t)，它在任意时刻t的值为从–∞到t区间，
f(t)与时间轴所包围的面积。
例1-3 f(t)的波形如图1-12（a），画出它的导数和积分的波形。 解：信号的导数和积分的波形如图1-12（b）（c）。
图1-12 信号的导数与积分
f(t)在t=0和t=1处有不连续点，故在t=0和t=1，它的导数出现冲激。在t=0处，f(t)的跳变值为1，所以冲激强度为1；在t=1处，f(t)的跳变值为–1，所以冲激是强度为1的负冲激。 1-2-3 信号的时移和折叠
信号f(t)时移±t0(t0>0)，就是将f(t)表达式中所有自变量t用t±t0替换，成为f(t±t0)。需要注意的是f(t)的时间范围定义域中的t也要被替换。从波形看，时移信号f(t+t0)的波形比f(t)的波形在时间上超前t0，即f(t+t0)的波形是将f(t)的波形向左移动t0；f(t–t0)的波形比f(t)的波形在时间上滞后t0，即f(t–t0)的波形是将f(t)的波形向右移动t0。
信号f(t)的折叠就是将f(t)表达式以及定义域中的变量t用–t替换，面为f(–t)。从波形看，f(–t)的波形是f(t)的波形相对于纵轴的镜像。
折叠信号f(–t)时移±t0就是将f(–t)的表达式以及定义域中的所有自变量t用±t0替换，成为f[–(t±t0)]=f(–t?t0)。从波形看，f[–(t+t0)]=f(–t–t0)的波形是将f(–t)的波形向左移动t0；f[–(t–t0)]=f(–t+t0)的波形是将f(–t)的波形向右移动t0。 例1-4 信号f(t)的表达式为
0 t<0 f(t)= t 0
求f(t+1)、f(t–1) 、f(–t)、 f[–(t+1)]及 f[–(t–1)]的表达式，画出它们的波形。 解f(t)波形如图1-13（a）所示，可得 0 t+1<0 f(t+1)= t+1 0 0 t<–1 0 t<–1 = t+1 –1 图1-13 信号的时移和折叠 时移信号f(t+1)和f(t–1)的波形如图1-13（b）所示。 0 –t<0 f(–t) = –t 0<–t<1 0 –t>1 0 t<0 = –t –1 0 –t–1<0 = –t–1 0<–t–1<1 0 –t–1>–1 0 t>–1 = –t–1 –2 0 –t+1<0 = –t+1 0<–t+1<1 0 –t+1>1 0 t>1 = –t+1 0 折叠时移信号f(–t–1)和f(–t+1)的波形如图1-13（d）所示。 1-2-4 信号的尺度变换 尺度变换就是把信号f(t)以及定义域中自变量t用at去置换，成为f(at)。其中a是常数，称为尺度变换系数。如果a>1，则f(at)的波形是把f(t)的波形以原点（t=0）为基准，沿时间轴压缩至原来的 11；如果0 1。 a 若将f(at)的波形时移±t0，即得f[a(t±t0)]的波形。 0 t<0 例1-5 已知f(t)= t 0 1t)，f(–2t)，f(–2t+2)。 2 解： 0 t<0 0 t<0 f(2t)= 2t 0<2t<2 = 2t 0 0 t/2<0 0 t<0 t/2 0 0 t/2>2 0 t>4 0 –2t<0 0 t>0 f(–2t)= –2t 0<–2t<1 = –2t –0.5 f(–2t+2)= –2t+2 0<–2t+2<1 = –2t+2 0.5 12 图1-14 信号的尺度变换及时移 它们的波形如图1-14所示。从波形图上可见，f(2t)是将f(t)沿t轴压缩2倍，f(t)是将f(t)沿t轴方向扩展2倍。而f(–2t)是首先将f(t)沿t方向压缩2倍得f(2t)，然后再折叠。f(–2t+2)=f[–2(t–1)]是将f(–2t)沿t轴方向右移1 个单位。 通过以上讨论可以看到，时移、折叠与尺度变换都是对变量t而言的。 1-3系统的数学模型及其分类 1-3-1系统的概念 什么是系统（system）？广义地说，系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如，通信系统、 自控系统、计算机网络系统、电力系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 为传送消息而装设的全套设备（包括传输信道）就是通信系统，它可抽象为由七个子系统依次连接而成的模型，如图1-15所示。下面对它们分别作一简要介绍。 图1-15 通信系统模型 信息源简称信源：是信息传输系统的起点。如广播员讲话的声音是信源。信源输出的是消息。 信源变换器：利用声－电、光－电等变换器来实现消息到电信号的转换。但这样的信号还不完全适合于传输。例如，话筒的输出为低频电流，而低频电流不能有效地辐射到空间去传输（进一步的理由见第3-13中所述）。这个信号也称基带信号。 发信变换器：为了使基带信号能有效地在相应的传输媒质（信道）中传输，需要通过发信变换器。如无线电话通信中，把低频电流经过调制将其变换成为高频电流后，才能通过空间进行传输，这个信号也称为调制信号。 信道：是指发信端到收信端之间的传输媒质。它可以是一对导线、一条同轴电缆或光纤， 12也可以是辐射电磁波的一个自由空间。 收信变换器：信号经过信道，由发信端传输到收信端，为了得到它所携带的信息，收信端必须将信号恢复成消息，然后从消息中获知信息。这个变换是发信端变换的逆过程，收信变换器将调制信号变换成基带信号。这个过程通常称为解调。 信宿变换器：将基带信号变换成消息，对不同的消息采用不同的变换器，如电－声、电－光变换器。 收信者：又称信宿。它是信息传输的终点。 图1-15的模型概括地反映了各种不同信号形式的消息传输系统的共性。 1-3-2系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数学模型的基础上，运用数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性。 例如，由电阻器、电容器、电感器组成的串联回路，可抽象表示为图1-16所示的模型。R表示电阻器的容量，C表示电容器的容量，L表示电感器的容量。若激励信号是电压源vs(t)，欲求解电压vc(t)，则由元件的理想特性及KVL可以建立如下微分方程： d2vc(t')dvc(t)LC?RC?vc(t)?vs(t)这就是该系统的数学模型，这是一个二阶微分方 dtdt2程。对于较复杂的系统，其数学模型可能是一个高阶微分方程。我们规定该微分方程的阶数 就是系统的阶数，图1-16的系统是二阶系统。 图1-16 RLC串联回路 系统模型的建立是有一定条件的，对于同一物理系统，在不同条件下可以得到不同形式的数学模型。另一方面，对于不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。 系统分析的着眼点是分析系统输入和输出的关系，而不涉及系统内部情况，因此在分析过程中，可以用一个方框来表示系统。 图1-17（a）所表示的是最常见的单输入单输出系统，图1-17（b）所表示的则是多输入多输出系统，后者将在第7章中讨论，其余章节中主要讨论单输入多输出系统。