图1-17 表示系统的方框图
图中x(t)是输入信号，y(t)是输出信号，箭头表示信号流向，方框中{qn(t0)}是在输入x(t)作用于系统的初始时刻t0，系统具有的一组初始状态，其数目等于系统的阶数n。S既是系统的符号，又是表征该系统主要特性的某种运算，意思是输入x(t)经过系统的某种运算就得到输出y(t)，写成关系式为：
y(t)=S[x(t);{qn(t0)}] t>t0 (1-8) 系统在t0以后的输出y(t)不仅与t0以后的输入x(t)有关，还与系统的一组独立的初始状态有关。 1-3-3 系统的分类
系统的分类比较复杂，我们主要考虑其数学模型的差异来划分不同的类型。 1．连续时间系统和离散时间系统
输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。模拟通信系统是连续时间系统，而数字计算机就是离散时间系统。连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统则用差分方程来描述。 2．线性系统和非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统。所谓线性特性（linearity）系指齐次性与叠加性。若系统输入增加k倍，输出也增加k倍，这就是齐次性（homogeneity），如图1-18（a）所示。若有几个输入同时作用系统，而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出之和，这就是叠加性（superposition property），如图1-18（b）所示。系统同时具有齐次性和叠加性便呈现线性特性，如图1-18（c）所示。表示为：
若 x1(t)→y1(t) x2(t)→y2(t)
则 k1x1(t)+k2x2(t)→k1y1(t)+k2y2(t) (1-9)
图1-18 系统的线性=齐次性+叠加性
一个系统的输出不仅与输入有关，还与系统的初始状态有关。设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为y(t)；仅有激励而初始状态为零的响应为yzs(t)，称其为零状态响应；仅有初始状态而激励为零时的响应为yzi(t)，称其为零输入响应。若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入
单独作用时相应输出的叠加。 因此，一般线性系统必须具有：
a． 分解性（decomposition property） 即 y(t)=yzs(t)+yzi(t)
b．零输入线性——当系统有多个初始状态时，零输入响应对每个初始状态呈线性。 c．零状态线性——当系统有多个输入时，零状态响应对每个输入呈线性。 凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统。
例1-6 试判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？ 系统1：y1(t)=3q(0)+5
?x(?)d? t>0
0t 系统2：y2(t)=3q(0)+5x2(t) t>0 系统3：y3(t)=3q2(0)+5x(t) t>0 系统4：y4(t)=3q2(0)+lgx(t) t>0
解：根据线性系统的定义，系统1的零输入响应和零状态响应均具有线性特性，故为线性系统；系统2仅零输入响应具有线性特性；系统3仅零状态响应具有线性特性；系统4的零输入响应与零状态响应均不具有线性特性，因此，系统2、3、4都不是线性系统。 例1-7 某系统由下列微分方程表示，试问此系统是否为线性系统？
dy(t)?10y(t)?5?x(t) t?0 dt 解：根据线性系统的定义，若有两个输入αx1(t)及βx2(t)分别激励系统，则由所给微分方程式分别可得：
d[?y1(t)]?10?y1(t)?5??x1(t) t?0 dtd[?y2(t)]?10?y2(t)?5??x2(t) t?0 dt
若该系统为线性系统，则当?x1(t)与?x2(t)共同激励系统时，其方程式应为以上两个方程式之和。即有
d[?y1(t)??y2(t)]?10[?y1(t)??y2(t)]?10??x1(t)??x2(t) t?0
dt而无论α、β取任何值，上式与原方程式均不相同，因此，该系统为非线性系统。 3．时不变系统和时变系统
只要初始状态不变，系统的输出仅取决于输入而与输入的起始作用时刻无关，这种特性称为时不变性。具有时不变特性的系统为时不变系统（time invariant system）。不具有时不变特性的系统为时变系统（time varying system）。对时不变系统，如果激励是x(t)，系统产生的响应是y(t)，当激励延迟一段时间td为x(t–td)，则系统的响应也同样延迟td时间为y(t–td)，其波形保持不变，如图1-19所示。公式化地表示为： 若 x(t)→y(t)
则 x(t–td)→y(t–td) (1-11) 例1-8 试判别下列系统是否为时不变系统？ 系统1：y(t)=tx(t)
系统2：y(t)=sin[x(t)]
解：对于系统1，当输入信号为x1(t)时，其输出为y1(t)=tx1(t) 则有 y1(t–td)=(t–td)x1(t–td)
而当输入为x2(t)=x1(t–td)时，则相应的输出为y2(t)=tx1(t–td) 显然 y2(t)≠y1(t–td) 因此系统1为时变系统。
图1-9 系统的时不变性
对于系统2，当输入信号为x1(t)时，其输出为y1(t)=sin[x1(t)]
今设x2(t)=x1(t–td)，则相应的输出为y2(t)=sin[x1(t–td)]=y1(t–td) 因此系统2为时不变系统。
系统的线性和时不变性是两个不同的概念，线性系统可以是时不变的，也可以是时变的，非线性系统也是如此。本课程只讨论线性时不变（LTI）系统，简称线性系统。线性时不变系统的数学模型为常系数微分方程或常系数差分方程。
线性时不变系统具有微分特性：若系统在激励x(t)作用下产生响应y(t)，则当激励为时，响应为
dx(t)dtdy(t)，如图1-20所示。 dt
图1-20 线性时不变系统的微分特性
4．因果系统和非因果系统
因果系统（causal system）是指其响应不会超前激励的系统。也即它在任何时刻的响应只取决于激励的现在与过去值，而不取决于激励的将来值。激励是产生响应的原因，响应是激励引起的结果。例如，系统y(t)=x(t)+x(t–2)在某时刻t0的响应y(t0)=x(t0)+x(t0–2)，它取决于当前的输入x(t0)与两个时间单位以前的输入x(t0–2)，响应在激励之后发生，所以是因果系统。所有实际的物理系统在激励没有作用之前决不会输出响应，所以都属于因果系统。
非因果系统（noncausal system）是响应能领先于激励的系统，它的输出取决于输入的将
来值。例如，系统y(t)=x(t–1)+x(1–t)在时刻t0=0时的响应y(t0)=x(–1)+x(1)，它不仅取决于1个时间单位以前的输入x(–1)，还与1个时间单位以后的输入x(1)有关，即响应在前，激励在后，所以是非因果系统。非因果系统不是一种真实系统，而是一种理想系统，我们将在第3章中将讨论的理想低通滤波器就属于这种理想系统。 1-14 系统的模拟
如前所述，把一个实际系统抽象为数学模型，便于用数学方法进行分析。另外，还可借助简单而易于实现的物理装置，用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响应的影响。此时，需要对系统进行实验模拟。系统模拟（system simulation）不需要制作实际系统，而只需要在数学意义上的等效，使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式。 1-4-1 基本运算器
连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器：加法器、标量乘法器和积分器。 1．加法器：它的功能是实现若干个输入信号的相加。其框图如图1-21所示。 2．标量乘法器：它的功能是实现标题乘法运算，即把输入信号乘以标量a，其框图如图1-22所示。
图1-21 加法器的框图 图1-22 标量乘法器的框图 3．积分器：它的功能是对输入信号实现积分运算，积分器的输入信号与输出信号的关系是： y(t)=
?t??x(?)d???x(?)d???x(?)d?
??t0t0t =y(t0)+若初始状态为零，则
?tt0x(?)d? (1-12)
t y(t)=
?t0x(?)d? (1-13)
积分器在这两种情况下的框图如图1-23所示。
图1-23 积分器的框图
通常，模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器，这是因为积分器对信号起“平滑”
作用，甚至对短时间内信号的剧烈变化也不敏感，而微分器将会使信号的噪声大大增加，因而使用较少，显然积分器的抗干扰性能比微分器好，运算精度高。
1-4-2 连续系统的模拟图
对于连续的线性时不变系统，可用线性常系数微分方程来描述，根据其微分方程可作出相应的模拟图。
一阶系统的数学模型为
y'(t)+a0y(t)=x(t) (1-14) 可写成 y'(t)=x(t)–a0y(t) (1-15) 由式（1-15）可以看出：（1）y(t)和y'(t )之间经过积分器的运算，即y'(t)经过积分器得到y(t)；（2）y(t)经过标量乘法器得到–a0y(t)；（3）x(t)和–a0y(t)经过加法器得到y'(t)。因此，这样一阶微分方程可以用一个积分器、一个标量乘法器和一个加法器联成的结构来模拟，如图1-24所示。
图1-24 一阶系统的模拟图 图1-25 二阶系统的模拟图
二阶系统的微分方程为
y\1y'(t)+a0y(t)=x(t) (1-16) 可写成 y\–a1y'(t)–a0y(t) (1-17) 二阶系统的模拟图如图1-25所示。
根据一阶系统和二阶系统的模拟，可以得到构成系统模拟图的规则如下：（1）把微分方程输出函数的最高阶导数项保留在等式左边，而把其他各项移到等式右边；（2）将最高阶导数作为第一个积分器的输入，其输出作为第二个积分器的输入，以后每经过一个积分器，输出函数的导数阶数就降低一阶，直到获得输出函数为止；（3）把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器，一起送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导数。这就构成了一个完整的模拟图。
应用以上规则，可以很容易地把一个n阶微分方程
y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+?+a1y'(t)+a0y(t)=x(t) (1-18) 所描述的n阶系统的模拟图构造出来，如图1-26所示。
现在考虑更一般的情况，即微分方程右边含有输入函数导数的情况。例如，二阶微分方程
y\1y'(t)+a0y(t)=b1x'(t)+b0x(t) (1-19) 对于这种系统的模拟，需要引入一个辅助函数q(t)，使其满足条件
q\1q'(t)+a0q(t)=x(t) (1-20) 上式左边和式(1-19)左边的不同仅是以q代替了y。而这个方程可以用前面的方法来实现模拟的。将式(1-20)代入式(1-19)，可得