电磁场题解
第一章 矢量分析与场论基础
1-1 求下列温度场的等温线
11）T?xy，2）T?2 2x?y解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得
C⑴ xy?C，y?；⑵ x2?y2?C
x
1-2 求下列标量场的等值面
11）u? ，2） u=z-x2?y2 ， 3）u=ln(x2+y2+z2)
ax?by?cz解 据题意可得 ⑴ ax?by?cz?k
2⑵ z?x2?y2?c，x2?y2??z?c?
⑶ lnx2?y2?z2?c，x2?y2?z2?ec，x2?y2?z2?k2
., 2.0, 30.)的矢量线方程。 1-3 求矢量场A?xex?yey?2zez 经过点M(10dxdydz?? xy2z 解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2
., 2.0, 30.)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3 将点M(10 即 y?2x，z?3x2 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A?y2xex?x2yey?y2zez的矢量线方程。
??解 根据矢量线的定义，可得
解 根据矢量线的定义，可得
dxdydz ??222yxxyyz 解微分方程，可得 x2?y2?c1，z?c2x 为所求矢量线方程。
1-5 设u(M)?3x2?z2?2yz?2xz，求：
., 2.0, 30.)处沿矢量l?yxex?zxey?xyez方向的方向 1）u(M)在点M0(10导数，
., 2.0, 30.)处沿矢量 2）u(M)在点M0(10l?(6x?2z)ex?2zey?(2z?2y?2x)ez方向的方向导数。 解 l的方向余弦为 cos??2222cos??172?3?23322，cos??； ??22222217172?3?22?3?2?2，
1
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又有
?u?x?6x?2xzM?12，
M00?u?y??2zM??6，
M00?u?z?2z?2y?2xM?4
M00 据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z
cos??M012?2?6?3?4?217?1417
1-6 求标量场u?xy?yz?zx在点M0(10., 2.0, 30.) 处沿其矢径方向的方向
导数。
11解 l的方向余弦为 cos??，?222141?2?32233，cos??； cos????22222214141?2?31?2?3?u?u?u?x?zM?4， 又有 ?y?zM?5，?y?xM?3 000?y?xM0?zM0M0据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z
., 1.0处)沿该点至1-7 设有标量场u?2xy?z2，求u在点(2.0, ?10(30., 10., -1.0方向的方向导数。在点)( 2.0, ?10., 1.0)沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？
., 1.0)至点(30., 10., -1.0)的方向余弦为 解 点(2.0, ?103?211?12co?s??，cos???，
?3?2?2??1?1?2???1?1?23?3?2?2??1?1?2???1?1?23cos??M05?1?4?2?3?314?2214
cos???1?1?3?2?2??1?1?2???1?1?2?u?xM002??；
3?u?y?2xM?4，
M00 又有
?2yM??2，
?u?z??2zM??2
M00据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z2cos??M0?2?1?4?2?2?210?
33当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿G??2ex?4ey?2ez方向导数达最大值，G???2??42???2??24?26
1-8 求下列标量场的?u
1）u?2xy；2）u?x2?y2；3）u?exsiny；
2 2
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4）u?x2y3z4； 5）u?3x2?2y2?3z2
?u?u?u解 据 ?u?ex?ey?ez，可得
?x?y?z1） ?u?2yex?2xey 2） ?u?2xex?2yey 3） ?u?exsinyex?excosyey
4） ?u?2xy3z4ex?3x2y2z4ey?4x2y3z3ez 5） ?u?6xex?4yey?6zez
., 30., -2.0)处的梯度。 1-9 求标量场u?xyz2?2x?x2y在点( ?10解 ?u?yz2?2?2xyex?xz2?x2ey?2xyezz，则所求梯度为
?????uM??12?2?6?ex???4?1?ey?12ez?4ex?3ey?12ez
0
1-10 求标量场u(x,y)?3x2?y2具有最大方向导数的点及方向，所求的点满
足x2?y2?1。（提示：最大的方向导数就是在点(x,y)处的梯度，模最大，且满足x2?y2?1，即求条件极值。） ?u?uex?ey?6xex?2yey，?u?36x2?4y2，将y??1?x2代解 ?u??x?y入，可得 ?u?36x2?4?1?x2??32x2?4，即 ??u??32x2?4，
22当x??1、y?0时，有?umax??6，即点??1,0?和?1,0?为满足条件的点，又
?u??1,0???6ex，?u?1,0??6ex，即最大方向导数的方向分别为?ex
1-11 设r?xex?yey?zez , r=r, n为正整数， 1）求?r2,?rn,?f(r),
2）证明?（a?r)?a,(a是常矢量）
解 1） ?r2??x2?y2?z2?2xex?2yey?2zez?2r
n2???? ??r?????x? ?nr??y?z2n22??n222?x?y?z?2????2xen?12x?2yey?2zez?
?n?2??1??2?rr?nrn?2 rr因此，可得 ??a?r????axx?ayy?azz??axex?ayey?azez，证毕。
r ?f?r??f??r??r?f??r?r?1r?f??r?
r2） 证明 设 a?axex?ayey?azez，则 a?r?axx?ayy?azz，
3
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1-12 设S为上半球面x2?y2?z2?a2 (z?0),其法向单位矢量en与z轴的夹
角为锐角，求矢量场r?xex?yey?zez 沿en所指的方向穿过S的通量。（提示：注意r与en同向）
解 将r?xex?yey?zez用球坐标表示，则在S面上有r?aen，因此，可得
23r?ds?a?2?a?2?a ?s
1-13 求均匀矢量场A通过半径为R的半球面的通量。
（如图1-1所示）
解 设半球面的方程为x2?y2?z2?a2 (z?0),则矢量A通过S面的通量等于矢量A通过S面在z?0的平面上的投影的通量，因此，?A?ds?A?R2
s
1-14 计算曲面积分????(x2?2xy)dydz?(y2?2yz)dzdx?(z?2x?1)dxdy,
S其中S是球心在原点，半径为a的球面外侧。
解 设A?(x2?2xy)ex?(y2?2yz)ey?(z?2x?1)ez，根据散度定理，可得
????(x2?2xy)dydz?(y2?2yz)dzdx?(z?2x?1)dxdy???A?dsSs4???????A?dv?????2x?2y?2y?2z?2z?2x?1?dv??a33vv
1-15 求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：
1）A?x3ex?y3ey?z3ez，S为球面x2?y2?z2?a2 2）A?（x?y?z)ex?(y?z?x)ey?(z?x?y)ez，S为椭球面
x2y2z2?2?2?1 2abc解 1） 根据散度定理，可得
22222??A?ds???Adv?3x?3y?3zdv?3r?4?rdr??????????svv0??a125?a 52）
4????A?ds???Adv?1?1?1dv?3??abc?4?abc ????????3svv
1-16 求下列空间矢量场的散度：
1）A?(2z?3y)ex?(3x?z)ey?(y?2x)ez 2）A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez
?Ax?Ay?Az解 1） ??A????0
?x?y?z?Ax?Ay?Az2） ??A????6x?3y2?z2?xy?6xz
?x?y?z
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1-17 求divA在给定点处的值：
1）A?x3ex?y3ey?z3ez在M（1.0，0.0，-1.0)处； 2）A?4xex?2xyey?z2ez ,在M（1.0，1.0，3.0）处； 3）A?xyzr (r?xex?yey?zez)在M（1.0，3.0，2.0）处。 解 1） ??A??Ax?Ay?Az???3x2?3y2?3z2，则??AM?3?3?6 ?x?y?z?Ax?Ay?Az2） ??A????4?2x?2z，则??AM?4?2?6?8
?x?y?z?Ax?Ay?Az??A??????xyz?xex?yey?zez?3） ， ?x?y?z?2xyz?2xyz?2xyz?6xyz??则??AM?6?1?3?2?36
1-18 求标量场u?x3y4z2的梯度场的散度。
?u?u?uex?ey?ez?3x2y4z2ex?4x3y3z2ey?2x3y4zez 解 ?u??x?y?z ???u?6xy4z2?12x3y2z2?2x3y4?2xy23y2z2?6x2z2?x2y2
1-19 已知液体的流速场
V?3x2ex?5xyey?xyz3ez，问点M（1.0，2.0，3.0）是否为源点？
??解 ??v?6x?5x?3xy2z，由于?vM?65?0，所以M是源点。
1-20 已知点电荷q1,q2分别位于M1，M2两点处，求从闭曲面S内穿出的电
场强度通量?E, ,其中S为：
1）不包含M1，M2两点的任一闭曲面； 2）仅包含M1点的任一闭曲面； 3) 同时包含M1，M2两点任一闭曲面。
解 据高斯通量定理，可得 1） ?E???E?ds?0
s2） ?E???E?ds?q1
s3） ?E???E?ds?q1?q2
s
1-21 求矢量场A??yex?xey?cez (c为常数）沿下列曲线的环量 1）圆周x2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）
2）圆周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系） 解 设圆周包围的曲面为s，则s??R2，据斯托克斯定理，可得
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