电磁场题解
?UU，D? dd11U2当极板间电压不变时，空气介质中电场能量密度 w0?ED??2??0
22d1U2注油后电场能量密度 w??2?4?0?4w0
2dQ当极板上电荷不变时，极板上的电荷面密度 ?? ，则电场强度
S解 平行极板间电场强度和电位移矢量分别为 E?E??， ?11?2电位移矢量 D??，空气介质中电场能量密度 w0??ED??
22?0注油后电场能量密度 w??22?4??0?0.25w0
6-2 内、外两个半径分别为a、b的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为?0，当内、
外电极上的电荷分别为?q时，求电容器内储存的静电场能量。
解 如图6-1建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为
E?q4??0r2，D?q4?r2，
则极板间的电场能量
W??ba1?q?111?q?4?2????4?4?rdr????2?4???0r2?4???022?badrq2?r28??0?11???? ?ab?6-3 两个同轴薄金属圆柱，半径分别为R1?5cm、R2?6cm，小圆柱有l?1m放在大圆柱内，极
板间介质的介电常数为?0，如果在两圆柱间加上U?1000V的电
压，求电容器极板间储存的静电场能量。
解 如图6-2建立圆柱坐标，圆柱形极板间的电场强度为
?，由于极板间的电压U?1000V，则有
2??0rR?U1000???， U?ln2?1000，可得
R2??0ln1.22??0R12E?lnR12W??则极板间的电场能量
R2R1???0lU21?U1??0??l?2?r?r?dr?lnR/R2?lnR/R21?21??12
???8.85?10?103ln1.2?1.52?10?7J 26
电磁场题解
6-4 内导体半径为a，外半径为b的同轴电缆中通有电流I。假定外导体的厚度可以忽略，求单位长度的
磁场能量。
解 如图6-3建立圆柱坐标，当r?a时，有
H?Ir2?a2
相应的磁场能量为
Wm1??当aa0?0?I?2?0I2??r?2?rdr?2?2?a2?16?I2?r
2
?r?b时，有 H?b相应的磁场能量
Wm2??a?0?I?1?0I2bln ???2?2?rdr?2?2??r4?a?0I2?0I2b?0I2?1b???ln???ln? 16?4?a4??4a?2所求磁场能量为
Wm?Wm1?Wm26-5 空气中有一个边长为b的等边三角形回路和一长直导线，三角形回路的一边与长直导线
平行，间距为a，三角形回路的另一顶点离直导线较远，如图6-4所示。当直导线和三角形回路分别有电流I1和I2时，求三角形回路与直导线之间的互有磁场能量。
解 如图建立坐标系，电流I1三角形线圈中产生的磁
?0I1，
2??a?x??0I1元磁通 d??Bds??2y?dx，
2??a?x?感应强度为 B?式中 y??133b2x?b， 2磁通 ???0?????a?x??2?0I1?b??0????两线圈间的互感 M???????因此，两线圈间的互有能
??3a?b?0I1??ab?x?13?2???ln??b? ?dx??????aa2?3???32??????3a?bab?13?2????b? ?ln2aa23??????3a?b?0I1I2??ab?13?2??W?MI1I2???ln??b? ?????32?aa2?????
27
电磁场题解
6-6 一个平板电容器的极板为圆形，极板面积为S，极间距离为d。介质的介电常数为?，
电导率为?。当极板间电压为直流电压U时，求电容器中任一点的坡印亭矢量。
解 如图建立坐标系，两极板间的电场强度、传
U?Uez，JC??E? dd据安培环路定律，可得 H?2?r?JC??r2
Jr?Ure? 即 H?Ce??22d导电流密度分别为 E?则坡印亭矢量为
U?U?U2S?E?H???rer??2er
d2d2d6-7 在题6-6中，如果电容器极间的电压为工频交流电压u?坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。
?U?02Uco3s1t4??ez 解 据题意，可得各极间电场强度为 E?相量式Eez，
ddu?uU?0??ez，相量式D?ez则传导电流密度为JC??E?ez，电位移矢量D??dd?d??U?0?D3142Usin314t??e相量式 J位移电流密度J???ez，相量式 CzDd?t?d?j?U?0??D?????J??J??U?JD??ez则全电流密度 J??j??ez，磁场强度 CD?t?dd???2?rJUr?U????????e???H???r? 坡印亭矢量H??jeS?E??j????er ??22d?????2d2??U2R?U2??R2?2?Rd?由此可得有功功率P?，
d2d2U2R??U2?R2??2?Rd??无功功率Q?? 2??d2d2Ucos314t。求任一点的
第七章 平面电磁波
7-1
设空气中有一平面电磁波在坐标原点的电场强度为E?Ex(0,t)?Emcos?t，电磁波以速度v沿z轴方向传播。求电场强度和磁场强度的表达式。 解 据题意可得 E?z,t??Emco?s?t??z?ex?Emco?s?t? H?z,t??Hmcos??t??z?ey?7-2
7??z??ex v??z?cos??t??ey
?0/?0?v?Em设空间某处的磁场强度为H?01求电磁波的传播.cos(2??10t?021.x)ez A/m。方向、频率、传播常数、传播速度和波阻抗，并求电场强度的表达式。
解 据磁场强度表达式，可得电磁波的传播方向为x轴正方向，
?2??107??107Hz，传播常数 ??0.21rad/m频率 f?， 2?2? 28
电磁场题解
?2??107传播速度 v?， ??3?108m/s?0.21?04??10?7??377? 波阻抗 Z??12?08.85?10电场强度
E?0.1Zcos(2??107t?0.21x)ey?37.7cos(2??107t?0.21x)eyV/m7-3
一在真空中传播的电磁波电场强度为E?E0[cos(?t?ky)ex?sin(?t?ky)ez]，求磁场强度。
E0[co?st(?ky)??ez??sin?(t?ky)ex] 3777-4 某良导体中一均匀平面波的频率为f0，波长为?0。求该电磁波的传播常数、衰减系
解 据题意可得 H?数、相位常数、传播速度和透入深度。
解 据题意，已知频率f0，波长?0，磁导率?0，介电常数?0，媒质为良导体，电导率?，并有
??2?2???2，则可得
传播常数 Γ???1?j?相位常数
?????1?j?2??0，衰减系数
?????2?， ?2?0?????2?， ?2?02?传播速度 v?7-5
????2????2?f0??0?2?f0?0，透入深度 d??0 2????2?已知真空中有一均匀平面波的电场强度E?Exex?Eyey。其中，，Ex?100cos(2??108t?0.21z) V/mEy?100cos(2??10?8t?021.z?90?) V/m。求磁场强度的瞬时值及相量表达式。
解 据电场强度的表达式，可得磁场强度的瞬时值表达式为
H?Hyey?Hxex?0.265cos(2??10?8t?0.21z)ey?0.265cos(2??10?8t?0.21z?90?)exA/m
??0.265e?0.21ze?je?0.187e?0.21ze?jeA/m相量表达式为 H yxyx2????
7-6
在自由空间中某一均匀平面波的波长为12 cm。当它在某一无损媒质中传播时，其波长为8 cm，且已知在该媒质中E和H的幅值分别为50 V/m和0.1 A/m。求该平面波的频率以及该无损媒质的?r和?r。
3?108解 据题意，在自由空间中，?0?12cm，则频率 f???2.5?109Hz
?00.1298在无损媒质中，波长??8cm，则波速v??f?0.08?2.5?10?2?10m/s
v 29
电磁场题解
??E5015，可得?2.5?10，???0.25?10?16 ???500，v???H0.1???11解得?2?2.5?105?0.25?10?16?6.25?10?12，即??2.5?10?6，??1?10
?2.5?10?6?1?10?11则 ?r???1.989，?r???1.13
?04??10?7?08.85?10?12由于
7-7
设一均匀平面波在一良导体中传播，其传播速度为真空中光速的01%.，波长为
03. mm。设媒质的磁导率为?0，试决定该平面波的频率和良导体的电导率。
解 据题意，可得
3?108?0.1%2?9?1?10Hz频率 f??，由于在良导体中，，即v??0.3?10?3??v2?2?2??1097v?，则有 ?? ??1.11?10S/m2?78???v4??10?3?10?0.1"???7-8
某导电媒质的磁导率为?0，电导率为4.2 S/m。求透入深度为1米的电磁波的频率。 解 据d?2d???214则 f????6.03?10Hz 22?72?2?d??4??10?4.2???，可得??22，
7-9
频率为1010 Hz的平面电磁波沿x轴垂直透入一平面银层，银层的电导率为
3?107 S/m，求透入深度。
解 d?
2????2?7?9.19?10m 10?772??10?4??10?3?10
30