电磁场题解
2?2??1???2?2??0I??e?0Iln2?1 ??其中，ln?1?45，?2?135，则 A?ezz4?4???2?122?1??2?2???4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理由。
1） Arer （球坐标系） 2） A(xey?yex)
3） A(xex?yey) 4） Are?（球坐标系） 5） Are?（圆柱坐标系）
1?3(rA)?3A?0 2r?r?Ax?Ay?Az2） ??A=?? ?0
?x?y?z?Ax?Ay?Az3） ??A=?? ?1-1?0
?x?y?z1?21?1?A?(rAr)?(A?sin?)??0 4） ??A?2rsin???rsin???r?r1?1?A??Az(rAr)???0 5） ??A?r?rr???z 由于??B?0，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5）可
解 1） ??A?能是磁感应强度表达式。
4-6 相距为d的平行无限大平面电流，两平面分别在
z??d/2和z?d/2平行于xy平面。面电流密度分别为Kex和Key，求由两无限大平面分割出的三个空间区域
的磁感应强度。
解 如图建立坐标系，并作平行于xz平面的闭合回
线l1，据安培环路定律，可得 Hx?K 2K 2和平行于yz平面的闭合回线l2，可得 Hy?考虑坐标系，及B??H可得
?K?Kd，B??0ex?0ey； 222?K?K?K?Kddd当??z?，B??0ex?0ey；当z??，B?0ex?0ey；
22222224-7 求厚度为d，中心在原点，沿yz平面平行放置，体电流密度为J0ez的无穷大导电板产
当z??生的磁感应强度。
d，作闭合回线l1，2d据安培环路定律，可得B??0J0x，当x?，作闭合
2?Jd回线l2，据安培环路定律，可得B?00，
2解 如图4-6建立坐标系，当x?
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电磁场题解
??0J0d??2ey??因此，可得B???0J0xey???0J0dey??2x???dd?x? 22dx?2d24-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流I。求各处的磁感
应强度。
解 作半径为r的闭合回线，据安培环路定律，
??0Ir??2?R2er1??I??0er可得 B??2?r??0IR32?r2e?22r?2?rR3?R2??0r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3
4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为J的体电流。求小圆柱面
内空洞中的磁感应强度。
解 设小圆柱面内空洞中的任意点p至大、小圆柱面的轴心距离分别为r1、r2，当空洞内也充满体电流时，可得p点的磁感应强度
为B1??0Jr12e1，空洞内的体电流密度在p点产
生的磁感应强度为B2??0Jr22e2
B?B1?B2??0J2?r1e1?r2e2???0Jdex
24-10 内半径为R1，外半径为R2，厚度为h，磁导率为?（????0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N匝
线圈，如图4-9所示。线圈中电流为I。求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。
解 在铁芯中作与铁芯圆环同轴半径为r的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为
B??0INe? 2?rR21相应的磁通为
?0IN?INhR2 hdr?0lnR2?r2?R1?0IN2hR2磁链为 ??N?? ln2?R1???4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流
I，如图4-10所示。求两种媒质中的磁感应强度和
磁场强度。
解 设z轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 H14?r?H24?r?I，
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电磁场题解
?1H1??2H2
?2I解以上两式，得 H1?e?，
???1??2?r?2IH2?e?，
???1??2?r?1?2IB1?B2?e?
???1??2?r据边界条件，可得
4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为R。
求这对导线单位长度的电感。
解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a、b的单为长度内自感为
Li??0 4?对于外自感，如图4-12取镜象，a、b之间的外磁链可视为a、b和c、d中的电流分别作用后叠加，即
?0Id?R?0Idln?ln，?R?R?0Id2?4h2?0Id2?4h2 ?2??2?ln?ln22?2h?4h?0Id?0Id2?4h2?0Idd2?4h2ln?ln?ln?外磁链为 ???1??2? 22?R??R4h4h?1??1?外自感为
?0dd2?4h2Lo??ln?
I?R4h2?因此，自感为
?0?0dd2?4h2L?Li?Lo??ln? 24??R4h4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷
长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿
轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有何变化？
解 设长直导线中有电流I，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为
???0IhR2?NIhR2，??N??0 lnln2?R12?R1因此，两线圈之间的互感为
M??I??0NhR2 ln2?R1根据诺以曼公式，可知两线圈之间的互感也可
视为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的
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电磁场题解
磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的磁通没有发生变化，因此互感也不变。
4-14 如图4-14所示，内半径为R1，外半径为R2，厚
度为h，磁导率为?（????0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N匝线圈。求此线圈的自感。若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为??，求线圈的自感。
解 当线圈中有电流I时，设铁芯中的磁场强度为H、气隙中为H0，据安培环路定律，可得
H?2?????r?H0?????r?NI 据边界条件，可得 ?H??0H0，代入上式，
得
H?NI???r??2???????????0????0NI
r??0?2???????????0?NI
r??0?2??????????R?0?NhIR则铁芯及气隙中的磁通为 ???Bhdr?ln2
Rr??0?2??????????R1?0?N2hIR线圈所链绕的磁通为 ??N??ln2
r??0?2??????????R1?0?N2hR?则电感为 L??ln2
Ir??0?2??????????R1相应的磁通为 B??H?21
4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。
解 （a）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得
y?dx 2b长直导线中的电流I在三角形线圈中产生的磁感应强度为
B?2??a?x??0I，
则磁通为
?0Idbx??dx2?b?0a?x
?0Id?a?b???b?aln?2?b?a????0d?a?b?互感为 M???b?aln??
II2?b?a? 19
电磁场题解
（b）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得y??d?x?b? 2b长直导线中的电流I在三角形线圈中产生的磁感应强度为 B?则磁通为
2??a?x??0I，
?0Idbx?b?0Id?a?b???dx?a?bln?b?? ?02?ba?x2?b?a????0d?a?b?互感为 M?????a?bln?b? ?II2?b?a????4-16 试证明真空中以速度v运动的点电荷所产生的磁场强度和电位
移矢量之间关系为H?v?D 。
证明 如图4-16，点电荷q在半径为r处产生的电位移矢量为
qer，当点电荷q以速度v向z方向运动时在半径为r4?r2qv?erqer?v??v?D证毕。 处产生的磁场强度为H?4?r24?r24-17 试证明真空中以角速度?作半径为R圆周运动的点电荷q在圆心处产生的磁场强度为
q?H?en，en是与圆周运动方向成右手螺旋关系方向的单位矢量。
4?RD?证明 如图4-17所示，以角速度?作半径为R圆周运动的点电荷q的线速度为 v??Re?，则磁场强度
H?qv?Rerq??en 24?R4?R证毕。
4-18 如图4-18所示，半径为a，长度为2l的永磁材料圆柱，被永久磁化到磁化强度为M0ez。
求轴线上任一点的磁感应强度B和磁场强度H。
解 等效的磁化电流体密度和面密度分别为 Jm????M????M0ez?0，
Km?M?en?M0ez?er?M0e? 参阅教材72页例4-2，可得图4-19所示电流微元M0dz?在z点产生的磁感应强度为
dB??0a2M0dz?2a2?z2?z?2????32ez
则圆柱体上的磁化电流在轴线上产生的磁感应强度为
B?2?dB??0ll?0a2M0dz?0?a??z22?z?22??32ez
??0M02[l?za?(l?z)2?l?za?(l?z)22]ez
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