A．-6＜a＜-3 B．-5＜a＜-2 C．2＜a＜5 D．a＜-5或a＞-2 思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性. 解析：根据三角形三边关系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，应选B.
举一反三：
【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简
思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论. 解析：∵a，b，c为△ABC的三条边 ∴a-b-c＜0， b-a-c＜0 ∴
=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.
得_________.
【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.
【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.
思路点拨：要分类讨论，给出的边长中，可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.
解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10；(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11. 例2．（1）（2010宁波市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 （ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点：等腰三角形 答案：A
（2）如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.
考点：直角三角形两锐角互余.
解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40° 又∵BD∥AC， ∴∠CBD=∠C=40°.
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例3．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中( ) A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 考点：三角形内角和180°.
思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理，即∠B+∠C=180°-∠A. 解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A
∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴选A，其它三个答案不能确定. 举一反三：
【变式1】下图能说明∠1＞∠2的是( )
考点：三角形外角性质.
思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.
解析：A中∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不一定相等；C中∠1是三角形的一个外角，∠2是和它不相邻的内角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.
总结升华：三角形内角和180°以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要注意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准.
【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论. 解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C
又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C.
【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( ) A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个
思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.
解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大
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于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B. 考点二、三角形的“四心”和中位线
例4．（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( ) A.二条中线的交点 B. 二条高线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边中垂线的交点 考点：线段垂直平分线的定理.
思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.
（２）（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，??，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
考点：三角形中位线找规律
思路点拨：图①有１个正三角形；图②有（１＋４）个正三角形；
图③有（１＋４＋４）个正三角形；图④有（１＋４＋４＋４）个正三角形； 图⑤有（１＋４＋４＋４＋４）个正三角形；?． 答案：17
例5．一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 考点：三角形角平分线定理.
思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B. 举一反三：
【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求∠BOC的度数.
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考点：三角形外心、内心、垂心性质.
解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°；
(2)O为内心时，∠BOC=90°+∠A=119°；
(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.
【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.只有两边相等的锐角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形或直角三角形
解析：三角形的内心都在三角形内部；锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.
【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的( ) A.中线 B.高线 C.边的中垂线 D.角平分线 思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到. 解析：三角形的一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A.
例6．（1）（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（ ）
A、15米 B、20米 C、25米 D、30米 考点：三角形中位线定理.
思路点拨：ＢＥ=ＡＥ＝５ ，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０ 答案：C
（2）已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=12厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF
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的周长是________.
考点：三角形中位线定理.
思路点拨：本题考查三角形的中位线，先求出△ABC各边的边长，由三条中位线构成的△DEF是原三角形周长的一半.
解析：由已知求出△ABC另两边长为BC=8厘米，AC=16厘米
∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线
∴DE= 举一反三：
AC=8 EF=AB=6 DF=BC=4，∴△DEF的周长等于8+6+4=18厘米.
【变式1】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
思路点拨：本题考查三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 解析：已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE、DF互相平分. 证明：连结DE、EF ∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC(三角形中位线定理) 同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).
【变式2】已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?
思路点拨：考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中
位线定理得， 证明：连结AC
，同理，则EF∥GH，EF=GH，所以四边形EFGH是平行四边形.
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