考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.
解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°, ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：∵ （2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120°
∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（3）
如图所示折叠，使顶点
落在
点.已知
，
，则
（2）将一张矩形纸片折痕
的长为( )
A. B. C. D.
考点：勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.
思路点拨：考查学生了解折叠前后图形的变化，找出对应相等的量，运用勾股定理解答. 解析：由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，
16
所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.
总结升华：直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理. 举一反三：
【变式1】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点：直角三角形三个内角之间关系.
∠C.
解析:三角形中有一个角是90°，就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC中∠C =90°.故选D.
【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )
A. B. C. D.5
考点：勾股定理和线段垂直平分线定理.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE= 设BD为x，则CD=8-x
AB
∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2 ∴AB2=42+82=80，∴AB=
，∴BE=
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5 在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即(
【变式3】已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. (1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
17
)2+DE2=52，∴DE= 故选B.
(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
图1 图2
思路点拨：(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD. (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质. 解析：
(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴ ∠ABC=60°
又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴ BD=AD； (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
∴=45°
∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∠BAP=，∠ABP=
即∠BAP+∠ABP=45° ∴∠APB=180°-45°=135° 解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
∴=45°
∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
∠DBC=，∠PAC=
∴ ∠DBC+∠PAD=45°
∴ ∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.
18