∵E、F是AB、BC的中点，∴EF=，EF∥AC
同理，GH=，GH∥AC，
∴EF∥GH，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形. 考点三、全等三角形
例7．对于下列各组条件，不能判定△
≌△
的一组是( )
A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′ C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′ D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′
思路点拨：判定三角形全等的条件中，已知两边及一角必须是两边及其夹角，而已知两角一边和三边都可以判定三角形全等.
解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是两边和一边对角对应相等，不能判定三角形全等.故选C. 举一反三：
【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是( ) A.一边和任意两个角 B.两边和它们的夹角 C.两个角和它们一角的对边 D.三角对应相等
思路点拨：两个三角形中，三角对应相等不能证明三角形全等.
解析：A的判定方法为ASA或AAS；B的判定方法为SAS；C的判定方法为AAS；要判定三角形全等必须有一个元素是边，所以D不能判定.故选D.
例8．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
第8题图
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考点：三角形全等的判定及性质.
思路点拨：（1）利用ASA判定;(2) 利用 △BEC≌△DEC 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45° 又EC＝EC ∴△ABE≌△ADE （2）∵△ABE≌△ADE
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED
∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF ∴∠EFD＝60°+45°＝105° 举一反三：
【变式1】如图，已知:AC =DB，要使
≌
，只需增加一个条件是___________.
考点：三角形全等的判定.
思路点拨：增加条件判定三角形全等时，题中已有一条公共边这一条件，答案不唯一. 解析：填AB=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS.
【变式2】如图，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是_____
考点：利用三角形全等的性质证明线段或角相等.
思路点拨：本题作出M到AB的距离，可以利用证三角形全等求距离.更简单的是利用角平分线上的点到角两边距离相等.
解法一：过M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90° ∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM
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∵AM=AM， ∴△AMC≌△AMD(AAS)， ∴MD=CM=20cm 解法二：过M作MD⊥AB于D ∵∠C=90°， ∴MC⊥AC ∵AM平分∠CAB， ∴MD=CM=20cm 考点四、等腰三角形与直角三角形
例9．（1）（2010湖北黄石） 如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_____________.
思路点拨：等腰三角形的性质 答案：45°
（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半
思路点拨：本题适用于任何一种等腰三角形.总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.
解析：如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°- 答案：B.
(180-∠A)= ∠A，
例10．△ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论.
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思路点拨：本题是先猜想再验证的探索性题型，关键是掌握等边三角形及三线合一的性质. 答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD； ⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等.
总结升华：等腰三角形是特殊的三角形，具有对称性，边、角之间的联系较多；三线合一的性质在解题时应用广泛，但经常被忽略，应注意灵活运用. 举一反三：
【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50°、80°，则这个三角形是_________三角形. 考点：等腰三角形的判定.
思路点拨：会根据三角形内角的度数判断三角形的形状.
解析：三角形的两个内角分别为50°、80°，则另一个内角为50°，这个三角形有两个角相等，所以是等腰三角形.
总结升华：三角形是按边和角进行分类的，会根据题意判断三角形的形状.
【变式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC的度数.
思路点拨：本题利用三角形内角和求出∠C，从而得出结论.
解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180°
∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°=18°.
【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________.
解析：本题是动手操作题型，展开后会发现小三角形一边恰好是原三角形的中位线，从而得出小三角
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形的周长就是原三角形周长的一半.
答案：.
例11．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 考点：考查勾股定理的逆定理.
思路点拨：常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌握. 解析：D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D.
例12．（1）（2010年江苏无锡）
①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程）
②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD?X”，请你作出猜想：
当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
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