《数学模型》复习提纲
典型题型（仅作参考） 1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、模型构成 、 模型求解 、 模型分析 、 模型检验 、模型应用等. P14
2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模型、 交通模型 、环境模型 、 生态模型 等. P17 3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．P271
4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．P263
5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 描述模型，预报模型，优化模型，决策模型，控制模型
6有4支球队A、B、C、D进行单循环赛，比赛结果是这样的：A胜B和C，B胜C和D，C胜D，D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次． 参见P270
?0110??0011??，它是双向连通的.； 这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 A???0001????1000?T(k)(k?1)?Ake,k?1,2,3,?,8.从而可得这4支球令e?(1,1,?,1)，分别计算s?As队A、B、C、D的名次为{A，B，D，C}．
7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电
影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图. 参见P250
8．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
9．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 1 -
品种 面粉（千克） 糖（千克） 蛋（千克） 利润（千元） 精制 0.1 0.2 0.3 0.3 普通 0.3 0.2 0.1 0.2 已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.
10．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品
的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
11．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
dx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.
（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水平x0.
12.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：
*?(t)?rxlnxN x其中r和N的意义与Logistic模型相同.
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，又单位捕捞量为h?Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0*.
典型题型部分解答（仅作参考）
8.雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其
中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为
0-1-30-2-1-1-1-2-2-2-1-1
[v]=LMT，[?]=LMT，[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[?]=LM0T0 ，
0-2
[g]=LMT
其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 2 -
?1?0A=????1(v)1?3?100101?(L)10??(M) ?1?2??(T)(?)(?)(?)(g)齐次线性方程组Ay=0 即
?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0? 的基本解为
11?y?(1,?,0,0,?)?122
?31?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量
??1?v??1/2g?1/2 ??3/2?1?1/2??g??2???13/21/2?1?1即 v??g?1,??g???2. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2)
?g1/2??1) , 其中?是未定函数.
9．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表： 品种 面粉（千克） 糖（千克） 蛋（千克） 利润（千元） 精制 0.1 0.2 0.3 0.3 普通 0.3 0.2 0.1 0.2 已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.
解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x千克和10y千克，糕点的利润为Z（千元），由题意得此问题的数学模型为： maxZ?3x?2y
?x?3y?15 ?2x?2y?12? s.t. ? y 3x?y?15? 6 ??x?0,y?0 5 ? ???g?(?这是一个线性规划问题.
(3/2,9/2) 4 - 3 - 09 级本科《数学模型》复习提纲 3 2 (9/2,3/2) L1 1 3/2模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
l1:x?3y?15l2::2x?2y?12l3:3x?y?15及x?0,y?0组成的凸五边形区域.
直线l:3x?2y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l2与l3的交点时，
?2x?2y?12 Z取最大值. 由?3x?y?15?9393 解得：x?,y?，Zmax?3??2??16.5（千元）.
2222故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千
元）.
某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、 劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：
已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力 满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.
解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元 ?（1分） 依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 ?（4分）
利润目标函数z=6x+12y ?（8分）
如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值． 解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）?（11分）
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润 ?（12分）
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 4 -
10．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和
g：
xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2??0 --- ----------------（2） xk?1?x0??(yk?y0),yk?1?y0???(由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3） （1）代入（3），可得xk?2?x0????( ? 2xk?2xk?1?xk?x0) 2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
2?????????0
容易算出其特征根为
2?1,2????(??)2?8??? ---------------（5）
4当???8时，显然有
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 5 -