????(??)2?8?????2??? -----------（6）
44从而?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2?要使特征根均在单位圆内，即 ?1,2?1，必须 ???2． 故P0点稳定平衡条件为 ???2．
11．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
??2
dx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.
（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水平x0.
解：（1）.x(t)变化规律的数学模型为
*dx(t)x?rx(1?)?h dtNxxr2记f(x)?rx(1?)?h,令 rx(1?)?h?0 ，即 （1）x?rx?h?0----NNN4hN?1?N4rh4hrN ??r2??r(r?) ， （1）的解为：x1,2?2NN① 当??0时，（1）无实根，此时无平衡点；
N②当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为x0?.
2xrx2rx' ，f(x0)?0 不能断定其稳定性. f'(x)?r(1?)??r?NNNxrNdx但?x?x0 及x?x0 均有f(x)?rx(1?)?即 ?0?x0不稳定；?0 ，
dtN4③ 当??0时，得到两个平衡点：
N?N1?x1?4hrNN?N1? ， x2?4hrN22NN易知 x1? ， x2? ?f'(x1)?0， f'(x2)?0
22?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 6 -
（2）．最大持续产量的数学模型为： ??maxh?s.t.f(x)?0xNrNN**即 maxh?rx(1?)， 易得 x0? 此时 h?，但x0?这个平衡
242N
点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?NNN,且尽量接近,但不能等于. 222
10．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：
品种 甲 乙 原材料 2 能源消耗(百元) 1 劳动力(人) 4 利润(千元) 4 3 6 2 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.
解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为
maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400 x?6y?2400
4x?2y?2000x?0,y?0,x,y?Z模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400l3:4x?2y?2000及x?0,y?0组成的凸五边形区域.
直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值. 由?
?2x?3y?1400 解得：x?400,y?200
4x?2y?2000?Smax?4?400?5?200?2600（千元）.
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 7 -
故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.
1.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？
答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
2.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
解：目标层 越海方案的最优经济效益
准则层
省
时
方案层
收入 岸间商 业 当地商业 建筑就 业 建桥梁 修隧道 设渡轮
基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.
答： 目标层 评选影片
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 8 -
准则层
方案层
思想性 艺术性 娱乐性 票房 A B C
写出数学建模过程的流程图.
实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地求解模型 估计参数 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 符合否 检验模型 (用实例或有关知识) 分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。
答：（1）当右轮盘转到第i圈时其半径为r?wi，周长为2?(r?wi)，m圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即：
?2?(r?wi)?vt；
i?1m （2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：
?[(r?wkn)2?r2]?wvt；
（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt内录像带转过的长度为速度v乘以
dt，它等于右轮盘绕上的录像带长度（由于m?kn），即：
vdt?2?(r?knw)kdn；
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 9 -
以上三种方法都可得到：
t??wk2vn2?
2?rkn。 v写出数学建模过程的流程图.
实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地求解模型 估计参数 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 符合否 检验模型 (用实例或有关知识) 分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。
答：（1）当右轮盘转到第i圈时其半径为r?wi，周长为2?(r?wi)，m圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即：
?2?(r?wi)?vt；
i?1m （2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：
?[(r?wkn)2?r2]?wvt；
（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt内录像带转过的长度为速度v乘以
dt，它等于右轮盘绕上的录像带长度（由于m?kn），即：
vdt?2?(r?knw)kdn；
以上三种方法都可得到：
t??wk2vn2?2?rkn。 v 09 级本科《数学模型》复习提纲 - 10 -