第四节 平板应力分析
3.4 平板应力分析 3.4.1 概述
3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3 圆平板中的应力
3.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
3.4.1 概述
1、应用：平封头：常压容器、高压容器；
贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板；
板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。
2、平板的几何特征及平板分类
几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。 t/b≤1/5时 (薄板) oxyz图2-28 薄板 w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力
载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷
②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷
内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形
②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
78
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。
4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫Kirchhoff
① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w的挠度。只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题
3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
Qr+pzM?t/2t/2zd?QrozPdQrdrdrdMrMr+drdrrrMrM?ta.drc.yPQr+dQrdrdrRrr+drd? d?oQrM?MrrMr+dMrdrdrM?Tb.d. 分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、θ、z圆柱坐标系中，
内力Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度w只
是 r 的函数，而与θ无关。
求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（
→求w求→内力
Mr、M?pz?w）
→求应力
?r、??
79
t/2t/2 rd?z微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。 a.ozyRd? rb.微元体内力 ：
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 周向：Mθ、 Mθ
横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr 微元体外力 ：
上表面P?pzrd?dr
r+d?M?rdrodQrQr+drdrPdMrMr+drdrrMrd?Qroz1、平衡方程 M?tdrc.yP dQrQr+drdr微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即ΣMT=0 M?80 rMr?Mr+dMrdrM?rMr zM?t a.dMrd?dr??d?M?drr?drd??Mrd??2Mdrsin?Qrd?dr?prd?dr?0??r?rz?r?dr22??Mr?dMrQrdr（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）c. odrr?M??Qrr?0 （2-54） zyPd?r M?Mrd?dQrQr+drdrrdMrMr+drdrM?b.2、几何协调方程(W~ε)
r+droQrTd. 取AB?dr，径向截面上与中面相距为z，半径为r与r?dr两点A与B构成的微段
rmzzAndrm1Bn1ra.?d?wzmAm1Brnn1dwb.z??+d?
板变形后：
81
微段的径向应变为 ?r?z???d???z?dr?zd?dr（第2假设）
过A点的周向应变为???作为小挠度???dwdr2??r?z???2?r2?r?z?r（第1假设）
，带入以上两式，得
应变与挠度关系的几何方程：
?r??z????dwdr22zdwrdr （2-55）
3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：
?r????E1??E1??22??r????? （2-56）
??????r?4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 (2-55)代入(2-56)式：
?d2w?dw??r????2?21???drrdr?Ez?????1dwdw???2?2?1???rdrdr?Ez2 （2-57）
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr和M?表示成w的形式。由式（2-57）
可见，?r和??沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。
82