lMrorrMrzdzz图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系 ?r、??的线性分布力系便组成弯矩Mr、M?。单位长度上的径向弯矩为： 2?dw?dw?2Mr??2t?rzdz???2t??zdz 2?2??1??rdr??dr22ttE?d2w?dw?Mr??D??? （2-58a） 2drrdr??同理M?
2?1dwdw??D????2dr?rdr?? （2-58b） ?D??Et3212?1???
参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 (2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：
?r????12Mtt3rz12M?3 （2-59）
z(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：
dwdr33?1dwrdr22?1dwr2dr?QrD?
即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：
d?1d?d???Qr?r????dr?rdr?dr??D? （2-60）
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
3.4.3 圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）
承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支②固支 承受集中载荷时圆平板中的应力
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t/2zot/2
一、承受均布载荷时圆平板中的应力 rOrMrQrQrMr图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定
据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：Qr?代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：
d?1d?dw??prr? ????dr?rdr?dr??2D??rp2?r2?pr2
对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：
dwdr?pr316D??C1r2?C2r （2-61）
对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。
w?pr464D??C1r42?C2lnr?C3 （2-62）
C1、C2、C3均为积分常数。
对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
dwdrw??prpr4316D???C1r22C1r4 （2-63）
?C364D?式中C1、C3由边界条件确定。
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件) ①周边固支圆平板 ②周边简支圆平板
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prRza.RRprRzb. 周边固支圆平板 周边简支圆平板 图2-33 承受均布横向载荷的圆板 1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角） prRza.RR周边固支圆平板 r?R, dwdr?0 r?R, w?0C1??pR42将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：
C3?8D?,pR
64D?代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：
dwdrw???pR?16D?2pr2?r22? （2-64）
?R64D??r?2
将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
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Mr?M???R2?1????r2?3?????16??R2?1????r2?1?3????16?pp （2-65）
由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：
?r??????Mrt2????622?R1???r???3????2??8t22?R1???r???1?3???2??8t3pM?t23p （2-66）
6周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。 最大应力在板边缘上下表面，即??r?max??3pR4t22
σrσθσθσrσθσθ3μpR2-0.8274t21.0rR0.5-3pR20.628-4t2σr3(3+μ)pR28t2σr3(1-μ)pR24t2r1.0R3pR(1+μ)8t22+OO0.5a.b. 图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面） 2、周边简支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3： 代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程： 222?4RR?r2???22??R?r??? （2-67） w?64D??1?????pprRzb.RrR 周边简支圆平板 86
弯矩表达式：
Mr?M??p16p?3????R2?r2? （2-68）
?R2?3????r2?1?3????16?应力表达式：
?r??????3p8t2?3????R2?r2??R2?3????r2?1?3????8t?23p （2-69）
可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处r?0，
?Mr?max??r?max??M??max??pR162?3???
?????max3?3???pR28t2
周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。
σrσθσθσθ3μpR2-0.8274t21.0rR0.5-3pR20.628-4t2σr3(3+μ)pR28t2σr3(1-μ)pR24t2r1.0Rσrσθ3pR(1+μ)8t22+OO0.5a.b.图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面） 3、比较两种支承 a. 边界条件 周边固支时:r?R, dwdr?0 r?R, w?0周边简支时:b. 挠度
r?R, w?0r?R, Mr?0
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