5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p。
解 可以认为一批100个产品中有5个次品,
505149基本事件总数?C100, 有利的基本事件数?C95?C5C955149C95?C5C95所求概率 p?50C100 。
6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p（2）3名优秀生在同一个班的概率q。
解 基本事件总数有
15！种 5！ 5！ 5！(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分3！ 12！12！3！ 12！ 4！ 4！?25. 法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =4！15！914！ 4！ 4！4！ 4！ 4！5！ 5！ 5！ (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中
3?12！3?12！12！！ 5！ 5！?6。 分法总数为, 共有种, 所以 q =215！912！ 5！ 5！2！ 5！ 5！5！ 5！ 5！7. 随机的向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X轴的夹角小于
1解 这是几何概型, 样本空间占有面积为? a2,
2?的概率。 411所求事件占有面积为? a2?a2
4211? a2?a2112所以, 所求概率p?4??。
12?? a228. 设点(p,q)随机地落在平面区域D: |p|≤1, |q|≤1上, 试求一元二次方程
x2?px?q?0两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。
解 (1) 方程两根都是实数?p2?4q?0, 即 q?12p,4
12(p?1)dp??1413 方程两根都是实数的概率??.4241(2) 方程两根都是正数?p2?4q?0, p?0, q?0,012??14pdp1
方程两根都是正数的概率??.448
§1.4 条件概率
三、计算下列各题
1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。
解 令A?“任取一件是合格品，B”?“任取一件是一等 品 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.04)?0.75?0.72。
2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。
解 设A? “该动物活到20岁”，B?“该动物活到25岁” P(B|A)?P(AB)0.4??0.5。 P(A)0.83. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。
解 Ai=“第i次取到正品” i =1，2，3，4.
P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。
解 设 B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜”
?109890????0.00069100999897P(B|A1A2)?
P(BA1A2)P(A1A2A3)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4A5)?P(A1A2)P(A1)P(A2)33320.6?0.6?0.4?0.6?0.4 ? ?0.9360.62四、证明题
1. 若P(A)?0,P(B)?0，且P(A|B)?P(A)证明P(B|A)?P(B)。
P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(A)P(B) 证 因为 P(A|B)?P(A), 则P(B)所以 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B) 。 P(A)P(A)2. 证明事件A与B互不相容，且0 1?P（B）P(AB)P(A)。 ?1?P(B)P(B) §1.5 全概率公式和贝叶斯公式 三、 计算下列各题 1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。 解 Ai =“在第i箱取球” i=1，2，3，B=“取出一球为白球” 11131553 (1)P(B)??P(Ai)P(B|Ai)???????353638120i?1311?P(A2)P(B|A2)3220 (2)P(A2|B)???53P(B)531202. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。 解 设A=｛取得的产品为正品｝， Bi,i?1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品 P(B1)=0.5 ，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(A|B1)?0 .9 ，P(A|B2)?0 .8 ,P(A|B3)?0.7 ??P?Bi?P?ABi??0.83。 所以 P（A）i?133. 一群人中有37.5 %的为A型血型，20.9 %为B型，7.9 %为 AB型，33.7 %为 O型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？ 输血者 A型 受血者 B型 × √ √ × AB型 √ √ √ × O型 √ √ √ √ A型 B型 AB型 O型 √ × × √ 解 设A=｛输血成功｝ Bi,i=1,2,3,4分别表示A,B,AB,O型血型 则P(B1)=0.375 P(B2)=0.209 P(B3)=0.079 P(B4)=0.337 P(A|B1)= P(B1)+P(B4)=0.712 同理可求出 P(A|B2)=0.288， P(A|B3)=0.663， P(A|B4)=1 （A）=则 P?P(B)?P(AB)i=1ii40.717。 4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解 B=｛从人群中任取一人是男性｝， A=｛色盲患者｝ 因为 P（B）?PB?0.5 P(A|B) ?5% ， P(A|B) ?0.25% P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625 所以 P(B|A) ?P(B)P(A|B)0.5?0.0520??。 P(A)0.0262521??5. 某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A,B,C车间生产的概率。 解 A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉” P（A）?25% P（B）?35% P（C）?45% P（D|A）?5% P（D|B）?4% P（D|C）?2% P?AD??P?A?P?DA?P?D? 25?5?25 25?5?35?4?40?269= P?A?P?DA??P?B?P?DB??P?C?P?DC?P?A?P?DA?= 同理 P（B|D）=28 ； P（C|D）=16。 69696. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q. 解 设Ai?\抽取的学生是i班的\, i?1,2,3, Bj?\第j次抽到未献血的\, j?1,2,1121则 P(Ai)?, i?1,2,3. P(B1|A1)?, P(B1|A2)?, P(B1|A3)?,3455133443(1) p?P(B1)??P(Ai)P(Bi|Ai)?(??)?.345560i?11211241(2) P(B2|A1)?, P(B2|A2)?, P(B2|A3)?, P(B1B2|A1)???,45516155151012051 P(B1B2|A2)???, P(B1B2|A3)???,2524425246 3111137P(B1B2)??P(Ai)P(B1B2|Ai)?(??)?. 3546180i?1 P(B2)??P(Ai)P(B2|Ai)?i?133112117(??)?. 345560 所以 q?P(B1|B2)?P(B1B2)37?。 P(B2)51 §1.6 事件的独立性 三、计算下列各题