概率论习题册答案中国地质大学(4)

(2) P (–1

1???A?A?B?0??F(??)?0???22 1） ?????, 解 （1F(??)?1???A?B?1?B????2??11111 (2) P(?1?x?1)?F(1)?F(?1)?(?arctan1)?(?arctan(?1))?,2?2?2

1 (3) f(x)?F?(x)?,???x????(1?x2) 0?x?1?2x，6. 设随机变量X的概率密度为f（x）, 以Y表示对X进行三次独立观??0, 其它?察中{X≤

1}出现的次数,求概率P(Y=2). 211 111解 p = P (X≤)=?2f（x）dx??22xdx?, 由已知 Y~B(3, )

?? 042492123所以 P（Y?2） ?C（）?344647. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从N(50,100)；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从N(60,16)，问

（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 P(X1?70)??(70?5070?60)?0.9772,P(X2?70)??()?0.9938. 104所以走第二条。 （2）类似的走第一条。

§2.4 随机变量函数的分布

三、计算下列各题

1. 设随机变量X的分布律如下，求Y?X2?1的分布律。

X Pi -2 1 5 -1 1 6 0 1 5 1 1 15 2 11 30解

Y 1 2 5 Pi 1 5 7 30 17 302. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求(1) Y?eX; (2) Z??2lnX的密度函数。 解 X的密度函数为 f(x)???1, 0?x?1

?0, x?0,x?1lnxX（1）

设Y?e，则有 FY(x)?P(Y?x)?P(e?x)?P(X?lnx)?X???fX(t)dt。

所以 fY(x)?1fX(lnx)，因此当x?1及x?e时，由fX(x)?0知fY(x)?0； x?11?, 1?x?e当0?x?e时，由fX(x)?1知fY(x)?，所以所求密度函数为fY(x)??x

x?0, x?1,x?e?x?1?2?e, x?0（2） 类似的可得：fZ(x)??2

?0, x?0?3. 设X~N(0,1)，求(1) Y?eX; (2) W?|X|的密度函数。

12??x22解 （1）X的密度函数为 fX(x)?Xe (???x???)， Y?eX的分布函数为

lnyFY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?? FY(y)?0 , y ?0

??fX(t)dt, y?0

?1?(Iny)1e2., y?0?X 所以 Y?e的密度函数为 fY(y)??2? y?0, y?0?（2） W?|X|的分布函数为 FW(y)?P(W?y)?P(|X|?y) ?P(?y?X?y)?212?y?y?e?t22dt?2?y?e0?t22dt y?0

FW(y)?0 , y ?0

?2?y2?e2, y?0 所以 W?|X|的密度函数为 fW(y)???

?0, y?0??2x?, 0?x??4. 设随机变量X的概率密度为f(x)???2；求Y?sinX的概率密度。

?0, 其它?解 当0?y?1时，FY(y)?P(Y?y)?P(sinx?y)

?P(0?X?arcsiny)?P(??arcsiny?X??)

arcsiny??02x??2dx???arcsiny?2x?2dx?2arcsiny?2,

2?, 0 ? y?1?2 所以 fY(y)???1?y

? 0,y?1?0, y ?5. 若球的直径D的测量值在[a,b]上均匀分布，求球的体积V的概率密度。 ?1, a?d?b1?解 fD(d)??b?a , V??D3,6?0, 其它????16v???FD?36v?, FV(v)?P(?D3?v)?P?D?3?????6?????1??1?2?3?2?a3?b33?6v??6v????3???b?a?9??v, 6?v?6所以 fV(v)?fD?3??????????????0, 其它a26. 将长度为2a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的

2概率。

解 长为2a的直线分成 X, 2a?X 两部分,X 在[0,2a]上均匀分布?1?, 0?x?2a fX(x)??2a , 面积 Y?X(2a?X)?0, 其它??? ?a2a2?22?P(0?Y?)?P?0?X(2a?X)??P?\0?X?a?a\ ? \a?a?X?2a\?????22?22???1??a?2a?a?22a?22??2a??1??2? ?四、证明题

1. 设X是取正值的随机变量，若lnX~N(?,?2),试证X 的密度函数为 ?1?1?exp?(lnx??)2?,x?0?2? p(x)???x2?, 这 称为对数正态分. 布?2???0, x ?0?证 Y?lnX~N(?,?2),X?eY,x??ey,x?0,所以X的密度为

?1?1?1?exp(lnx??)2?,x?0f(lnx),x?0?Y?2? p(x)?? ???x2??2??x??0, x ? ? 0 0?0, x?2. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布, 证明Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。

?2e?2x， x ?0证 X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 f（ ??Xx） 0 ?0, x ? Y?1?e?2x, y??2e?2x?0, 函数y单调可导,其反函数为 x??ln（1?y）?1, 0?y?111?|??ln（1?y））|(?ln（1?y）

220, 其它?12?f（由公式 f（Yy）X?所以 Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1 二维随机变量的概率分布

三、计算下列各题

0?x?1，0?y?1?4xy，??1. 已知随机变量X和Y的联合密度为f（x，y）, 求X和Y的0， 其它?联合分布函数F(x,y)。

解 因为 F?X,Y???x?????yf(x,y)dxdy

(1)x?0或y?0时，由f(x,y)?0,得F(x,y)?0(2) 0?x?1， 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x2y200xy(3) x?1, 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?y2001y(4) 0?x?1, y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x200x1

(5) x?1, y?1时, F(x,y)?1 x?0或y?0?0, ?220?x?1， 0?y?1?xy, ?所以 F(x,y)??y2, x?1, 0?y?1

?20?x?1, y?1?x, ?1, x?1, y?1?

2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的概率分布律。

1111C10C9C2C4510 解. P(X?0,Y?0)?11?, P(X?1,Y?0)?110?,. 166C12C1166C12C111111C10C2C2C101 P(X?0,Y?1)?11?, P(X?1,Y?1)?111?C12C1166C12C1166

?2g(x2?y2)?, 0?x,y?????3. 给定非负函数g(x),它满足?g(x)dx?1,又设f(x,y)???x2?y2,

0???0, 其它问f(x,y)是否是随机变量X和Y的联合概率密度?说明理由。

解 f(x,y)是X和Y的联合概率密度只要满足f(x,y)≥0与

??????????f(x,y)dxdy?1

由于0?x,y??, x2?y2?0, g(x)非负, 所以g(x2?y2)?0, 故f(x,y)?0,

??????????f(x,y)dxdy?????????2g(x2?y2)???x2?y2dxdy?2???20d????0g(r)rdr?1 r所以f(x,y)是随机变量X和Y的联合概率密度。

4. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为（fx，y）????k?6?x?y?, 0?x?2,2?y?4，求：

??0, 其它（1）系数k； （2）P?X?1,Y?3?； （3）P?X?1.5?； （4）P?X?Y?4?。

1f(x,y)dxdy?dyk(6?x?y)dx?8k?1?k?. ???????2?083113（2）P?X?1,Y?3???dy?(6?x?y)dx?.

208841.5127(6?x?y)dx?. （3）P?X?1.5???dy?2083244?y12(6?x?y)dx?. （4）P?X?Y?4?=P?X?1.5???dy?2083解：（1） ????42??a(1?x2?y2), x2?y2?1??5. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为f（x，y）, ??0, 其它1求 (1) 系数a, (2) 概率P（X2?Y2?）。

4解 (1) ??????????f(x,y)dxdy??d??a(1?r)rdr?0022?1?a3?1?a?.3?1201 (2) P(X?Y?)?42??2f(x,y)dxdy??d??1402?X?Y2?31(1?r)rdr ?.?2