（X,Y） （1，2） （1，4） （3，2） （3，4） P(X?x,Y?y) 0.18 0.12 0.42 0.28
X?Y X?Y 3 5 5 7 –1 –3 1 –1 57?1??3??3?1??W?X?Y所以 Z?X?Y的分布律为?,的分布律为?0.180.540.28??0.120.460.42??
????2. 设X,Y独立, X~N(?,?2),Y在[??，?]服从均匀分布, Z?X?Y，求Z的概率密度.(用标准正态分布函数?(x)表示)。
解 由已知X的密度函数为 fX(x)?12??e?(x??)22?2, ???x???
?1?, ???y??Y在[-π,π]服从均匀分布, 则fY(y)??2?, X和Y独立, 由公式
?0, 其它?f（??f（Zz）Xz?y）f（Yy）dy?????????12??e2（z?y??）?22??z?y??1dy，令t?2???12??z?????z?????12?e?t22dt?12?[?（z????z????）??（）]??22
3．设随机变量X,Y相互独立，且X~N(?1,?1),Y?N(?2,?2)求X?Y的概率密度。
解 ∵X,Y独立，
∴f(x,y)?12??1?2e1?(x??1)2(y??2)2?????22??22???1?
22??X?Y~N又∵X~N(?1,?1),Y?N(?2,?2)=> Z??12??2,?12??2?，
令Z?|，则 ?X?Y?|Z??z?F??z??F???z?,当z?0时，FZ?z??P?Z?z??PZZZ(?z??1??2)??(z??21??22)?2??1??2?2??12??22?1?fZ?z??fZ??z??fZ???z??e?e22?2???1??2???当z?0时，fZ?z??0.2(?z??1??2)2????(z??21??22)?221??e2??1??2??e2??1??2??，z?0,??即fZ?z???2???2??2??12??????0,z?0.?22????.???
1?2(x2?y2)e4. 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布, 其联合密度为f（x,y)?, 2?1???x???, ???y???, 求随机变量Z?(X2?Y2)的概率密度函数。
3?1? 解 FZ(z)?P?(X2?Y2)?z????f(x,y)dxdy?3?1(X2?Y2)?z31?z3z?r212?22当 z?0时, FZ(z)?0, 当z?0时, FZ(z)?d?erdr?1?e,??00 2??0, z?0?所以 fZ(z)??3?3z2?e, z?0?2
135. 已知随机变量X与Y相互独立，且都服从?0,a?区间上的均匀分布，求Z?X率密度函数。
解：∵X与Y相互独立，且X,Y~U?0,a?，
Y的概
?1?,0?x?a,0?y?a?f?x,y??fX?x?fY?y???a2?其它.?0,?X? ?FZ?z??P??z????f?x,y?dxdyY??x?zy当z?0时,FZ?z??0,ax111当z?1时，FZ?z???dx?2dy??dx?x2dy?1?,0xa02zzaazy1z当0?z?1时,FZ?z???dy?2dx?.00a2
??0,z?0??1?fZ?z???,0?z?12??1?2z,z?1.??2aa 0?x?1, 0?y?x?3x，??6. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f（x，y）, 0, 其它?求Z?X?Y的概率密度。
?0, z?0?zx1x31? 解 FZ(z)?P(X?Y?z)???dx?3xdy??dx?3xdy?z?z3, 0 ?z?1
00zx?z22? 1??1, z ??332??z, 0?z?1. 所以, Z的密度函数为 fZ(z)??22? 其它?0, 7. 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概3?10?y?1率密度为fY?y???，记Z?X?Y
0其它?（1）求P?Z???1?X?0? 2?（2）求Z的概率密度。
1P(X?0,Y?)111112?P(Y?)??21dy? 解：(I) P(Z?X?0)?P(X?Y?X?0)?022P(X?0)22(II) FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}
?P{X?Y?z,X??1}?P{X?Y?z,X?0}?P{X?Y?z,X?1} ?P{Y?z?1,X??1}?P{Y?z,X?0}?P{Y?z?1,X?1} ?P{Y?z?1}P{X??1}?P{Y?z}P{X?0}?P{Y?z?1}P{X?1}
1?P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 31??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)? 3??11?,?1?z?2所以 fZ(z)??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???3
3??0,其它8. 设二维变量(x,y)的概率密度为 f(x,y)??0?x?1,?0y?1?2?x?y
其他?0(I)求P{X?2Y}；
(II)求z?X?Y的概率密度。
解：
（Ⅰ）P?X?2Y??区域；
求此二重积分可得P?X?2Y?? ???(2?x?y)dxdy，其中D为0?x?1,0?y?1中x?2y的那部分
D?dx?0111x20(2?x?y)dy
52(x??08x)dx 7 ?
24（Ⅱ）FZ(z)?P?Z?z??P?X?Y?z?
当z?0时，FZ(z)?0；
当z?2时，FZ(z)?1；
13(2?x?y)dy??z?z2 ?003111352 当1?z?2时，FZ(z)?1??dx?(2?x?y)dy?z?2z?4z?
z?1z?x33?2z?z2,0?z?1?2 于是fZ(z)??z?4z?4,1?z?2
?0,其他? 当0?z?1时，FZ(z)?zdx?z?x9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为
?的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电
路正常工作时间T的概率分布。
解 以Xi表示第i个元件无故障工作时间，则X1,X2,X3独立且分布函数为
t???1?e?，t?0FX（t）?, i?1, 2, 3, T?min{X1,X2,X3}. ?i??0, t?03t??3??1?e?,t?0F（t）?. 所以T服从参数为的指数分布 1?(1?F(t))?T??Xi3i?1??0, t?0?1?2,?1?x?0??110. 随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2?4?0,其他??令Y?X2,F?x,y?为二维随机变
量(X, Y)的分布函数， (Ⅰ)求Y的概率密度fY?y?； (Ⅱ)F??解：
?1?,4?。 2???0,y?0?(1)式,0?y?1?2（Ⅰ）FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)??
?(2)式,1?y?4??1,4?y (1)式?P(?y?X?1y)??dx?2?y1y)??dx?2?10013dx?y； ?440yy (2)式?P(?y?X??0111dx??y. 424?3?8y,0?y?1??1'所以：fY(y)?FY(y)??,1?y?4
?8y?0,其他??（Ⅱ）
1F(?,4)21111?P(X??,Y?4)?P(X??,X2?4)?P(X??,?2?X?2)?P(?2?X??)2222??11。 dx??24?112?te?t,t?0,11. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为f?t???
0,t?0.?设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。 解：设某种商品在第i周的需求量为Xi?i?1,2,3?，由题意得X1,X2,X3相互独立，且有
?te?t,t?0, fXi?t??f?t???0,t?0.?（1）记两周需求量为Z，即Z?X1?X2，则Z的概率密度为