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（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax?1|?|ax?a|?1(a?0)． （I）当a?1时，求此不等式的解集；
（II）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
2015年丹东市高三总复习质量测试（一）
数学（理科）试题参考答案与评分参考
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）A （7）B
（2）B （8）C
（3）A （9）D
（4）D （10）D
（5）C （11）C
（6）C （12）D
（11）题引申：如果把题中的“a?b?0”改成“a?0,b?0”，答案是（12）题①②④是正确的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）?20
（14）
5或5． 21 2
（15）2 （16）2
三、解答题：本大题共6小题，共70分． （17）（本小题满分12分） 解：（I）由an?2?2an?1?an?2得
bn?1?bn?an?2?2an?1?an?2an?1?an?2?2an?1?an?2，
∴{bn}是首项为1，公差为2的等差数列；
????（6分）
（II）由（I）得bn?2n?1，于是an?1?an?2n?1，
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当n?2时，an?[(a2?a1)?(a3?a2)??(an?an?1)]?a1
?[(1?3??(2n?3)]?1
?(n?1)2?1
而a1?1，∴{an}的通项公式an?(n?1)2?1． 【注意】“累加”法，不要忘记验证n?1情形． （18）（本小题满分12分）
（I）证明：如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，
∴BC1∥DE，DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D， ∴BC1∥平面AB1D； （II）方法1：
过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质，AA1⊥DF， ∴DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，
∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，
则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角， 在正三角形A1B1C1中，∵D是A1C1的中点， ∴B1D?
????（8分）
????（6分）
????（12分）
3A1B1＝3， 22又在直角三角形AA1D中，∵AD＝AA1＋A1D2＝3，
∴AD＝B1D，可求得DF?3， 23， 2
????（12分）
∵△B1FE∽△B1AA1，得EF?∴cos∠DEF＝
22，即二面角A1－AB1－D的余弦值为． 22
方法2：
建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,?1,0)， B1(0,1,2)，
C1(?3,0,2)，A1(0,?1,2)，
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1D(?3,?,2)，
2∴AB1＝（0，1，2），BD1＝（－3a，－
3,0）， 2设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量，
?2y?2z?0,??n1·AB1＝0?则可得 ?，即?． 33x?y?0.?n1·B1D＝0???
?221∴n1＝（－3，1，－2）．D(?3 ， ,?,2)2
又平面ABB1A1的一个法向量n2＝OC＝（－3,0,0）， n1·n22设n1与n2的夹角是θ，则 cosθ＝＝，
|n1|·|n2|2
又可知二面角A1－AB1－D是锐角， ∴二面角A1－AB1－D的余弦值为（19）（本小题满分12分） 解：（I）∵0.05?2?0.4?2
． 2
????（12分）
14?0.3??0.7?0.5，0.7?0.5?0.2， 230.2∴这100名学生数学成绩的中位数是130?10??125； ????（6分）
40.3?3（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为
14(2?0.05??0.4??0.3?0.2)?100?90
23∴数学成绩在[140，150]的人数为100?90?10人， 而数学成绩在[130，140）的人数为0.2?100?20人， X可取0,1,2，
021120C10C20C10C20C10C2038403P(X?0)??P(X?1)??P(X?2)??，，， 222C3087C3087C3029X分布列
X P 0 1 2 3840 8787384032?1??2??． ∴EX?0? 87872933 29
????（12分）
【引申】本题还可以这样设问：根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩． 可以从以下几个方面选择回答：
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①由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的中位数，比较其大小，写出一个统计结论；
②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论；
③由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论； ④由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论； ⑤由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的方差，比较其大小，写出一个统计结论． （20）（本小题满分12分）
解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1(?1,0)，F2(1,0)，c?1，
∵H(2,210)在椭圆上， 3∴2a?HF1?HF2?(2?1)2?(21022102)?(2?1)2?()?6， 33a?3，b?22，
x2y2??1； 椭圆的方程是98 ????（6分）
x12y12??1， （II）方法1：设P?x1,y1?,Q(x2,y2)，则98x12xPF2??x1?1??y??x1?1??8(1?)?(1?3)2，
932212∵0?x1?3，∴PF2?3?在圆中，M是切点，
x1， 3x121∴PM?|OP|?|OM|?x?y?8?x?8(1?)?8?x1，
9322212121∴PF2?PM?3?11x1?x1?3， 33同理QF2?QM?3，∴F2P?F2Q?PQ?3?3?6， 因此△PF2Q的周长是定值6．
????（12分）
方法2：设PQ的方程为y?kx?m(k?0,m?0)，
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?y?kx?m?由?x2x2，得(8?9k2)x2?18kmx?9m2?72?0
?1??8?99m2?72?18km设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?，x1x2?， 228?9k8?9k22∴|PQ|?1?k2|x1?x2|?1?k(x1?x2)?4x1x2
?1?k2?18km29m2?72 ()?4?228?9k8?9k?1?k24?9?8?(9k2?m2?8)， 22(8?9k)m1?k2?22，即m?221?k2，
∵PQ与圆x2?y2?8相切，∴∴|PQ|??6km，
8?9k22212x12x2∵PF2??x1?1??y??x1?1??8(1?)?(1?3)，
93x1x1，同理QF2?(9?x2)?3?2， 333x?x26km6km6km??6???6， ∴F2P?F2Q?PQ?6?138?9k28?9k28?9k2∵0?x1?3，∴PF2?3?因此△PF2Q的周长是定值6． （21）（本小题满分12分） 解：（I）f?(x)??ln(kx)?
????（12分）
1?x，由题意f?(1)?0，得k?1， x????（2分）
此时f(x)?1?(1?x)lnx，定义域是(0,??)， 令g(x)?f?(x)??lnx?1?xx?1，g?(x)??2 xx∵g?(x)?0，∴g(x)在(0,??)是减函数，且g(1)?0，
因此当x?(0,1)时，f?(x)?g(x)?0，当x?(1,??)时，f?(x)?g(x)?0， ∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,??)上是减函数；
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????（6分）