专题三 电场和磁场中的带电粒子
一、考点回顾
1．三种力： 重力
大小
电场力 洛伦兹力
G=mg=GMm/R
F=qE
f=Bqv
2
方向 竖直向下 与E方向平行 与B、v平面垂直（左手定则） 决定因素
由场决定，与物体的运动状态（v）无关 由场和物体的运动状态（v）共同决定
2．重力的分析：
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；
(2)对于一些实际物体，如带电小球、液滴等不做特殊交待时就应当考虑重力； (3)在题目中有明确交待是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。 3．电场力和洛伦兹力的比较：
(1)在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛伦兹力的作用；
(2)电场力的大小与电荷的运动的速度无关；而洛伦兹力的大小与电荷运动的速度大小和方向均有关；
(3)电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛伦兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直；
(4)电场既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛伦兹力只能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小；
(5)电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛伦兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能；
(6)匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛伦兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧。
4．带电粒子在独立匀强场中的运动：
(1)不计重力的带电粒子在匀强电场中的运动可分二种情况：平行进入匀强电场，在电场中做匀加速直线运动和匀减速直线运动；垂直进入匀强电场，在电场中做匀变速曲线运动(类平抛运动)；
(2)不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动可分二种情况：平行进入匀强磁场时，做匀速直线运动；垂直进入匀强磁场时，做变加速曲线运动(匀速圆周运动)；
5．不计重力的带电粒子在匀强磁场中做不完整圆周运动的解题思路：
不计重力的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r=mv/Bq；其运动周期T=2?m/Bq(与速度大小无关)
(1)用几何知识确定圆心并求半径：因为F方向指向圆心，根据F一定垂直v，画出粒子运动轨迹中任意两点(大多是射入点和出射点)的F或半径方向，其延长线的交点即为圆心，再用几何知识求其半径与弦长的关系；
(2)确定轨迹所对的圆心角，求运动时间：先利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边
0
形内角和等于360°(或2?)计算出圆心角?的大小，再由公式t=?T/360(或?T/2?)可求出运动时间。
6．带电粒子在复合场中运动的基本分析
复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场。带电粒子在这些复合
场中运动时，必须同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用或其中某两种力的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要。所以问题本质还是物体的动力学问题。
分析此类问题的一般方法为：首先从粒子的开始运动状态受力分析着手，由合力和初速度判断粒子的运动轨迹和运动性质，注意速度和洛伦兹力相互影响这一特点，将整个运动过程和各个阶段都分析清楚，然后再结合题设条件，边界条件等，选取粒子的运动过程，选用有关动力学理论公式求解。?
(1)粒子所受的合力和初速度决定粒子的运动轨迹及运动性质：
当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止。
当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动。 当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动，且恒力的合力一定为零。
当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理。
(2)匀变速直线运动公式、运动的合成和分解、匀速圆周运动的运动学公式；
(3)牛顿运动定律、动量定理和动量守恒定律； (4)动能定理、能量守恒定律。
7．实际应用模型有：显像管、回旋加速器、速度选择器、正负电子对撞机、质谱仪、电磁流量计、磁流体发电机、霍尔效应等等。
二、经典例题剖析
1．如图所示，在某水平方向的电场线AB上(电场线方向未标明)，将一受到水平向右恒定拉力的带电粒子（不计重力）在A点由静止释放，AB带电粒子沿AB方向开始运动，经过B点时的速度恰好· · 为零，则下列结论正确的有【 】
A．粒子在A、B两点间移动时，恒力做功的数值大于粒子在AB两点间电势能差的绝对值
B．可能A点的电势高于B点的电势，也可能A点的电势低于B点的电势 C．A处的场强可能大于B处的场强
D．粒子的运动不可能是匀速运动，也不可能是匀加速运动
解析：根据动能定理，恒力做的正功跟电场力做的负功，数值相等，即恒力做功跟电势能之差的绝对值应相等，A错误；带电粒子从A点由静止开始向B运动，经过B点时速度为零，这表明带电粒子在恒力和电场力作用下先做加速运动后做减速运动，因此粒子的运动不可能是匀速运动。同时表明电场力的方向向左。粒子先做加速运动，说明水平向右的恒力大于水平向左的电场力，后做减速运动，表明后来水平向左的电场力大于水平向右的恒力，因此粒子不可能做匀加速运动，D选项正确；粒子在B处受到的电场力比A处大，因此B处的场强大于A处的场强，C选项错误；如粒子带正电，电场线方向应由B指向A、B点电势高于A点电势；如粒子带负电，电场线方向应由A指向B，A点电势高于B点电势。因此，A、B两点电势的高低无法判断。答案：BD
点评：此题是动力学观点与电场性质、能量观点等知识点的综合应用判断题目。 2．如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3/4，圆环半径为R，斜面倾角为θ=53°，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37o，从图中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得：F?mvDR2 即：1.25mg?m34vDR2
12由动能定理有：mg(h?R?Rcos37?)?联立可求出此时的高度h=10R
mg?(hcot??2R?Rsin37?)?mv2D
点评：用极限法通过分析两个极端（临界）状态，来确定变化范围，是求解“范围类”问题的基本思路和方法。当F供=F需时，物体做圆周运动；当F供>F需时物体做向心运动；当F供 3．如图所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源A，其电荷量Q = ＋4×10－3 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式为U?kQr，其中k为静电力恒量，r为空间某点到A的距离．有一个 质量为m = 0.1 kg的带正电小球B，B球与A球间的距离为a = 0.4 m，此时小球B处于平衡状态，且小球B在场源A形成的电场中具有的电势能表达式为??kQqr，其中r为q与Q之间的距离。有一质量也为 m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H = 0.8 m处自由下落，落在小球B上立刻也小球B粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运动到达的最高点P。（取g = 10 m/s2，k = 9×109 N·m2/C2），求： (1)小球C与小球B碰撞后的速度为多少？ (2)小球B的带电量q为多少？ (3)P点与小球A之间的距离为多大？ (4)当小球B和C一起向下运动与场源A距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？ 解析：(1)小球C自由下落H距离的速度v0 = 2gH= 4 m/s 小球C与小球B发生碰撞，由动量守恒定律得：mv0 = 2mv1，所以v1 = 2 m/s (2)小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球进行受力分析知： mg?kqQa2 代入数据得：q?49?10?8C (3)C和B向下运动到最低点后又向上运动到P点，运动过程中系统能量守恒，设P与A之间的距离为x，由能量守恒得： 12?2mv1?k2Qqa?2mg(x?a)?k25Qqx 代入数据得：x = (0.4＋ ) m（或x = 0.683 m） (4)当C和B向下运动的速度最大时，与A之间的距离为y，对C和B整体进行受力分析有：2mg?kQqy2，代入数据有：y = 25m（或y = 0.283 m） 由能量守恒得： 12?2mv1?k2Qqa?12?2mvm2?2mg(a?y)?kQqy 代入数据得：vm?16?82 m/s（或vm = 2.16 m/s） 点评：此题是动量守恒和能量守恒与电学知识的综合。 4．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示。离子源S产生带电量为q的某种正离子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的。粒子从容器A下方小孔S1飘入电势差为U的加速电场，然后经过小孔S2和S3后沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上。 (1)小孔S1和S2处的电势比较，哪处的高？?q在小孔S1和S2处的电势能，哪处高？如果容器A接地且电势为0，则小孔S1和S2处的电势各为多少？(设小孔极小，其电势和小孔处的电极板的电势相同) (2)求粒子进入磁场时的速率和粒子在磁场中运动的轨道半径。 (3)如果从容器下方的S1小孔飘出的是具有不同的质量的带电量为q的正离子，那么这些粒子打在照相底片的同一位置，还是不同位置？如果是不同位置，那么质量分别为m,m?1,m?2,m?3,...的粒子在照相底片的排布等间距吗？写出说明。 解析：(1)由于电荷量为带正电的粒子，从容器下方的S1小孔飘入电势差为U的加速电场，要被加速，S1和S2处的电势比较，S1处的高，从小孔S1到S2电场力做正功，电势能减小，所以粒子在小孔S1处的电势能高于在S2处。如果容器A接地且电势为0，而小孔S1和S2处的电势差为U，所以小孔S1和S2处的电势各为0和-U。 (2)设从容器下方的S1小孔飘出的是具有不同的质量的电荷量为?q的粒子，到达S2的速度为v，经S3进入射入磁场区，根据能量守恒，有 12mv2?qU v= 2qUm 设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：mv2R?qBv R?mvqB?1B2Umq ?2B2Umq(3)在磁场中偏转距离d=2R?2mvqB 由于是具有不同的质量的粒子，所以距离d不同，这些粒子打在照相底片的不同位置。从上式可以看出，在磁场中偏转距离d与质量的平方根成正比，所以质量分别为m,m?1,m?2,m?3,...的粒子在照相底片的排布间距不等。 点评：此题是与质谱仪相关的一道习题，考查了学生对基本物理模型的理解和掌握。 5．某同学家中旧电视机画面的幅度偏小，维修店的技术人员检查后诊断为显像管或偏转线圈出了故障。通过复习，他知道显像管的简要工作原理是阴极K发射的电子束经高压加速电场（电压为U）加速后，进入放置在其颈部的偏转线圈形成的偏转磁场中偏转，偏转后的电子轰击荧光屏，荧光粉受激发而发光，如图所 k A U B B P 示是显象管工作原理的示意图。已知阴极k发射出的电子束（初速度可视为零）经高压加速电压U = 22.5 KV加速后（电子从阴极到阳极的过程为加速过程），正对圆心进入磁感应强度为B，半径为r的圆形匀强磁场区，偏转后打在荧光屏P上。(电子的电量为q = -1.6×10-19C， -30 质量m = 0.91×10kg)。请你帮他讨论回答下列问题： (1)电子在A处和B处的电势能，哪处高？电场力对电子做的功为多少？电子到达阳极的速度为多少？ (2)若电子的荷质比为K，电子通过圆形磁场区过程的偏转角α是多大？(用字母表示) (3)试帮助维修店的技术人员分析引起故障的原因可能是什么？ 解析：(1)在电子从阴极A到阳极B的过程中要被加速，A和B处的电势比较，A处的高，电场力做正功，电势能减小，所以粒子在小孔A高于B处的电势能。 WAB = q U=1.6×10-19×22.5×103=3.6×10-15 J，是正功 由W?12mv 得v?1222WmmvmvBerR2?2?3.6?100.91?10?15?30m / s = 8.9×10 m / s 7 (2)电子被加速Ue? 电子在磁场中 ?vBKP k U B r R θ α 偏转的轨道半径如图，R? 而图中α=2θ，又tan?? K2U由以上四式可得??2arctanrB ⑶由??2arctanrBK2U知，偏转α越大，偏转量越大，荧光屏上的画面幅度越大。 由此可见，故障的原因可能是：①加速电场的电压过高；②偏转线圈的电流过小；③偏转线圈匝间短路，线圈匝数减少，偏转磁场减弱。 点评：此题是一道带电粒子的实际应用题型，考查了带电粒子在电场中的加速、有界圆形磁场中的偏转，运动过程多，需要细致准确的分析和做图。 6．如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为－q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C点进M 入磁场，并以最短的时间从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且 d C E B R 碰撞后以原速率返回。求： -q , m A (1)筒内磁场的磁感应强度大小； N (2)带电粒子从A点出发至重新回到A点射出所经历的时间。 解析：(1)带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短。