高二数学《数列》单元测试题
一． 选择题
1．（2015春?南昌期中）已知数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 计算题． 分析： 可先分别求出数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142的通项公式，判断最后一项是第几项，再根据公共项相等，得出含项数m，n的等式，再根据m，n为整数，求出个数即可． 解答： 解；由题意可知数列3，7，11，…，139的通项公式为an=4n﹣1，139是数列第35项． 数列2，9，16，…，142的通项公式为bm=7m﹣5，142是数列第21项， 设数列3，7，11，…，139第n项与，数列2，9，16，…，142的第m项相同，则4n﹣1=7m﹣5，n==﹣1， ∴m为4的倍数，m小于21，n小于35，由 此可知，m只能为4，8，12，16，20．此时n的对应值为6，13，20，27，34 所以，公共项的个数为5． 故选B 点评： 本题考查了等差数列的通项公式，属常规题，必须掌握． 2．（2015?房山区一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（ ）
A．2
n﹣1
B． C． D．
考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 专题： 计算题． 分析： 直接利用已知条件求出a2，通过Sn=2an+1，推出数列是等比数列，然后求出Sn． 解答： 解：因为数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，a2= 所以Sn﹣1=2an，n≥2，可得an=2an+1﹣2an，即：， 所以数列{an}从第2项起，是等比数列，所以Sn=1+故选：B． 点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，前n项和的求法，考查计算能力． =，n∈N+． 3．（2015?金家庄区校级模拟）在数列{an}中，若a1=1，且对所有n∈N满足a1a2…an=n，则a3+a5=（ ） A．
B．
C．
+2 D．
考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 首先根据题意求出a1a2…an﹣1=（n﹣1）2 （n≥2），与原式相除可以求出{an}的表达式，进而求出a3和a5的值，从而求出所求． 解答： 解：由题意a1a2…an=n2， 故a1a2…an﹣1=（n﹣1）， 2两式相除得：an= （n≥2）， 所以a3=，a5=即a3+a5=故选B． ， 点评： 本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{an}的表达式，属于基础题． 4．（2015?辽宁校级模拟）己知数列{an}的首项a1=1且an﹣an+1=anan+1，（n∈N+），则a2015=（ ） A．
B．
C．﹣ D．
考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 通过a﹣a=aa可知数列{}是以首项和公差均为1的等差数列，计算即可． nn+1nn+1解答： 解：∵a﹣a=aa，∴nn+1nn+1又∵a1=1，∴∴数列{∴∴=1， ， }是以首项和公差均为1的等差数列， =1+（n﹣1）=n， =2015，∴a2015=， 故选：D． 点评： 本题考查数列的递推式，熟练变形利用等差数列的通项公式是解题的关键，属于中档题． 5．（2014春?惠州校级期中）数列{an}中，a1=1，an+1=A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： *由an+1=（n∈N），两边取倒数可得：（n∈N），则
*
是这个数列的第（ ）项．
，利用等差数列的通项公式即可得出． 解答： 解：由an+1=∴数列{（n∈N），两边取倒数可得：*，即． }是等差数列， ∴=1+=． ∴． 令∴=，解得n=100． 是这个数列的第100项． 故选：A． 点评： 本题考查了递推式、通过取倒数转化为等差数列求通项公式，属于基础题． 6.已知方程（2x﹣2ax+1）（2x﹣2bx+1=0）的四个根组成一个首项为的等比数列，则a﹣b=（ ） A．1
B．
C．
22
D．
考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质，四个根组成的首项为的等比数列，且首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于2，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为a、b，即可求出结果． 2解答： 解：∵方程（2x2﹣2ax+1）（2x﹣2bx+1=0） 22等价于2x﹣2ax+1=0 ①或2x﹣2bx+1=0 ② 设方程①两根为x1，x4，方程②两根为x2，x3， 由韦达定理可得x1x4=，x1+x4=a x2x3=，x2+x3=b 又方程（2x﹣2ax+1）（2x﹣2bx+1=0）的四个根组成一个首项为的等比数列， 22∴x1，x2，x3，x4分别为这个数列的前四项，且x1=，x4==2， ∴数列的公比为2，∴x2=，x3=1， ∴a=x1+x4=，b=x2+x3=，故a﹣b=﹣=， 故选B 7.已知方程（x﹣2x+m）（x﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（ ） A．1
B．
C．
D．
22
考点： 等差数列的性质；一元二次不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得． 解答： 解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4， 则x1+x2=2，x3+x4=2， 由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq． 设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，， ∴m=，n=． ∴|m﹣n|=． 故选C 8．（2015春?宁县校级期末）观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第100项为（ ） A．10 B．14 C．13 D．100 考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 根据数列项的值，寻找规律即可得到结论． *解答： 解：设n∈N，则数字n共有n个 所以由≤100， 即n（n+1）≤200， 又因为n∈N， 所以n=13，到第13个13时共有=91项， *从第92项开始为14，故第100项为14． 故选：B． 点评： 本题主要考查数列的简单表示，根据条件寻找规律是解决本题的关键． 9．（2015?临潼区校级模拟）数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2014=（ ）
A． B． C．
D．
考点： 数列递推式． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 利用a1=，an+1=解答： 解：∵a1=，an+1=， ，得到规律，即可得出结论． ∴a2=，a3=，a4=，a5=，a6=， ∴数列{an}的周期为4， ∴a2014=， 故选：A． 点评： 本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，比较基础． 10．（2014秋?潮州期末）十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式F7=（ ） A．8 B．13 C．21 D．34 考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 计算题． 由此可计算出
分析： 根据“斐波那契数列”递推公式Fn=解答： 解：∵Fn=， 即可求得F7． ∴F3=1+1=2， F4=F3+F2=2+1=3， F5=F3+F4=2+3=5， F6=F4+F5=3+5=8， F7=F5+F6=5+8=13． 故选B． 点评： 本题考查数列的概念及简单表示法，考查推理与运算能力，属于中档题． 二、填空题 11．（2015?洛阳一模）已知数列{an}的通项公式为an=n+λn（n=1，2，3，…），若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是 （﹣3，+∞） ． 考点： 数列的函数特性． 专题： 等差数列与等比数列． 22分析： 由已知条件推导出an+1﹣an=（n+1）+λ（n+1）﹣（n+λn）=2n+1+λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围． 解答： 解：∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…）， 2
数列{an}是递增数列， ∴an+1﹣an 22=（n+1）+λ（n+1）﹣（n+λn） =2n+1+λ＞0恒成立 ∵2n+1+λ的最小值是2×1+1+λ=3+λ＞0 ∴λ＞﹣3 即实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）． 故答案为：（﹣3，+∞）． 点评： 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用． ﹣n
12．（2015?长宁区一模）已知数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2，则其通项公式为
．
考点： 数列的函数特性． 专题： 计算题． 分析： ﹣n由数列{an}的前n项和Sn=5﹣4×2，利用公式直接求解． 解答： 解：a1=S1=5﹣4×21=3， an=Sn﹣Sn﹣1 ﹣n﹣n﹣1=（5﹣4×2）﹣（5﹣4×2） ﹣=．