当n=1时，， ∴． 故答案为：． 点评： 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 13．（2015?淮阴区校级模拟）等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式22]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是 11 ． 考点： 数列的函数特性． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据已知中等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式+++c≥0的解集为[0，
+c≥0的解集为[0，22]，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案． 解答： 解：∵关于x的不等式++c≥0的解集为[0，22]， ∴22=，且＜0， 即＞0， 则a11=a1+10d＞0，a12=a1+11d＜0， 故使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是11． 故答案为：11． 点评： 本题考查的知识是数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键． 14.（2015?淄博二模）已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N）．定义：使乘积a1?a2…ak为正整数*
的k（k∈N）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为 2036 ． 考点： 数列的函数特性． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题意，及对数的换底公式知，a1?a2?a3…ak=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可． 解答： 解：∵an=logn（n+1）， ∴由a1?a2…ak为整数得1?log23?log34…logk（k+1）=log2（k+1）为整数， m设log2（k+1）=m，则k+1=2， m∴k=2﹣1； *∵2=2048＞2015， 23410∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：2﹣1，2﹣1，2﹣1，…，2﹣1， 23410其和M=2﹣1+2﹣1+2﹣1+…+2﹣1=2035． 故答案为：2035． 点评： 本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用． 15．（2015?开封模拟）已知函数f（n）=ncos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100= ﹣100 ． 考点： 数列的函数特性． 专题： 计算题． 分析： 由于cos（nπ）的值与n是奇数、偶数有关，故先分n是奇数、偶数，求数列an的通项公式，再分组求和即可得所求和 解答： 22解：∵an=f（n）+f（n+1）=ncos（nπ）+（n+1）cos（（n+1）π）=， 112
即an= ∴a1+a2+a3+…+a100=3﹣5+7﹣9+11…﹣201=50×（﹣2）=﹣100 故答案为﹣100 点评： 本题主要考查了函数与数列间的关系，求数列通项公式的方法，数列求和的方法和技巧，属基础题 三．解答题 16．（2015?武侯区校级一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣5，S5=﹣20． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式Sn＞an成立的n的最小值． 考点： 等差数列的前n项和；数列与不等式的综合． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）设{an}的公差为d，利用首项a1及公差d表示已知，解方程即可求解a1，d，进而可求通项公式． （Ⅱ）利用等差数列的求和公式及通项公式代入已知，整理解不等式即可求解n的范围，可求． 解答： 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d， 依题意，有a2=a1+d=﹣5，S5=5a1+10d=﹣20， 联立得 解得， 所以an=﹣6+（n﹣1）?1=n﹣7． （Ⅱ）因为an=n﹣7， 所以令即n﹣15n+14＞0， 解得n＜1或n＞14， *又n∈N，所以n＞14， 所以n的最小值为15． 2， ， 点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题 17．（2015?西安校级三模）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=． （1）求c：a的值；
（2）求证：a，b，c成等差数列． 考点： 等差关系的确定；二倍角的正弦． 专题： 解三角形． 分析： （1）利用倍角公式与正弦定理即可得出； （2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、等差数列的定义即可得出． 解答： 解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A， ∴==2cosA==． ∴=． （2）∵cosC=cos2A=2cosA﹣1=∴∵cosA=，∴=， ， ， 2﹣1=， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=∴sinA+sinC==2sinB． 即2b=a+c， ∴a，b，c成等差数列． 点评： 本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理、等差数列的定义、同角三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（2015?鄂州三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N）． （1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式． 考点： 数列递推式；等比关系的确定． 专题： 综合题． 分析： （1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由Sn+1=4an+2和Sn=4an﹣1+2相减得an+1=4an﹣4an﹣1，即an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1），所以bn=2bn﹣1，由此可知{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列． *
（2）由题设知的通项公式． ．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{an}解答： 解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2， 得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3． 由Sn+1=4an+2，① 则当n≥2时，有Sn=4an﹣1+2，② ①﹣②得an+1=4an﹣4an﹣1，所以an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）， 又bn=an+1﹣2an，所以bn=2bn﹣1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分） （2）由（I）可得bn=an+1﹣2an=3?2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得． 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 所以，即an=（3n﹣1）?2n﹣2（n∈N）．（13分） *点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式． 19．（2015?南市区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S15=225． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点： 等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）设出等差数列的首项和公差，由a2=3，S15=225列关于首项和公差的方程组求解首项和公差，然后代入通项公式即可； （2）把an代入解答： ，分组后运用等比数列和等差数列的求和公式进行计算． 解：（1）设数列{an}的公差为d，依题意得： 解得 ∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1． （2）由（1）得∴Tn=b1+b2+…+bn=， == ． 点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，分组求和是数列求和的一种重要方法，此题是中档题． 20．（2015?达州一模）设数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）若
，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （I）由题意可得数列{an}的公差，进而得通项，由Sn+bn=2可得Sn=2﹣bn，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案； n﹣1（II）由（I）可知cn=解答： =（2n﹣1）?2，由错位相减法可求和． 解：（I）由题意可得数列{an}的公差d=（a5﹣a3）=2， 故a1=a3﹣2d=1，故an=a1+2（n﹣1）=2n﹣1， 由Sn+bn=2可得Sn=2﹣bn，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1， 当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2﹣bn﹣（2﹣bn﹣1），∴∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列， ∴bn=1?=； =（2n﹣1）?2n﹣1， （II）由（I）可知cn=012， n﹣1∴Tn=1?2+3?2+5?2+…+（2n﹣3）?2+（2n﹣1）?2， 123n﹣1n故2Tn=1?2+3?2+5?2+…+（2n﹣3）?2+（2n﹣1）?2， 12n﹣1n两式相减可得﹣Tn=1+2?2+2?2+…+2?2﹣（2n﹣1）?2 =1+2nn﹣2﹣（2n﹣1）?2 n=1﹣4+（3﹣2n）?2， n∴Tn=3+（2n﹣3）?2 点评： 本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题． 21．（2015?张家港市校级模拟）若数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x﹣2x+bn=0，（n∈N）的两根，且a1=1． （1）求证：数列
是等比数列．
*2n*（2）设是Sn数列{an}的前n项和，问是否存在常数λ，使得bn﹣λSn＞0对任意n∈N都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点： 数列的应用． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： n（1）由题意，可利用根与系数的关系得出an+an+1=2，观察发现an+1=﹣（an），由此方程可以得出数列λ＜是等比数列； ，的最小值即可得到参数的取值范围，，对任意正偶数n都成立，求出若此范围是空集则说明不存在，否则，存在． n解答： 解：（1）∵an+an+1=2， n+1∴an+1﹣?2