取值范围。
（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x2?3y2?6z2?a(a?0),且x?y?z的最大值是1，求
a的值．
山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟 数学（理）试题参考答案
1．B 2．A 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C
5x2y2xy???1??011．12．13．45 14．15．24n?1?(?1)n?22n?1
6 412a2b2
0.3?0.06. 16．（1）第二组的频率为1-（0．04+0．04+0．03+0．02+0．02）×5=0．3．所以高为5
120200?200，频率为0．04×5=0．2．所以n??1000。 0.60.2195?0.65。 又题可知，第二组的频率0．3，第二组人数为1000?0.3?300，所以p?300第一组人数为
0第四组的频率0．03×5=0．15，所以第四组人数为100?a?150?0.4?60。????????????6分
0.?151所以，
（2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60：
[40,45)岁中有4人，30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人， [45,50)岁中有2人，设[40,45)[45,50)岁中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有岁中的4人为a,b,c,d．（a,b）, （a,c）,
（a,d）, （a,m）, （a,n）, （b,c）, （b,d）, （b,m）, （b,n）, （c,d）, （c,m）, （c,n）, （d,m）, （d,n）, （m,n）,共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有（a,m）, （a,n）, （b,m）, （b,n）, （c,m）, （c,n）, （d,m）, （d,n），共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为 P?
8．????????????13分 15- 6 -
17．（1）由题设，总成本为20000?100x，????????????2分
?12??x?300x?20000,0?x?400则y??2????????????7分
?x?400?60000?100x,（2）当0?x?400时，y??1(x?300)2?25000， 2当x?300时，ymax?25000；????????????????10分 当x?400时，y?60000?100x是减函数， 则y?60000?100?400?20000?25000．
∴当x?300时，有最大利润25000元．????????????13分 18．
法一：（1）如图，连AP并延长交BD于E，连CE，过M作MN//BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE。故AP=3PE，从而PQ//CE。因PQ?平面BCD，CE?平面BCD，故PQ//平面BCD；
（2）过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR。因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，从而BM⊥平面RCF，所以∠CRF=?即为二面角C-BM-D的平面角。因PQ//CE，故∠DCE=45?，因此CE即为∠BCD的角平分线。由（1）易知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，从而BC=1，CF?1?21?222?25。由题易知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM。由题
CM?22，故CR?1?221?8?CF322110?。所以sin??，从而cos??。 ?CR31010101,0,1）。 2- 7 -
法二：如图建立空间直角坐标系，则C（0,0,0），D（2,0，0），A（2,0,4），M（2,0,2），Q（
????????（1）设B(0,y,0)，则P?1,y2,1?，因此QP??12,y2,0?。显然DA??0,0,4?是平面BCD
????????的一个法向量，且QP?DA?0，所以PQ//平面BCD；
????????2????????1y????????QP?CD??????得y?1，（2）由（1）QP?CD?1，|QP|?，|CD|?2，故由cos450????44|QP||CD|???????????因此B?0,1,0?，从而BD??2,?1,0?，BM??2,?1,2?。设m??x1,y1,z1?是平面BMD的法
????2x1?y1?0向量，则?，取x1?1得m??1,2,0?。设n??x2,y2,z2?是平面BMC的法向
?2x1?y1?2z1?0?????y1?0m?n10量，则?，取x1?1得n??1,0,?1?。故cos??|???|?．
2x?y?2z?010|m||n|?11119．结论：（a1+a2+?+an）（
1112
++?+）≥n?（4分）
ana1a2证明：①当n=1时，显然成立；??????????（6分） ②假设当n=k时，不等式成立， 即：（a1+a2+?+ak）（
1112
++?+）≥k????????????? （9分）
aka1a2那么，当n=k+1时， （a1+a2+?+ak+ak+1）（
1111++?++）
akak?1a1a2=（a1+a2+?+ak）（
1111111++?+）+ak+1（++?+）+（a1+a2+?+ak）+1
akaka1a2a1a2ak?1≥k+（
2
2
ak?1a1aaaa+）+（k?1+2）+?+（k?1+k）+1 a1ak?1a2ak?1akak?1≥k+2k+1
- 8 -
=（k+1）
即n=k+1时，不等式也成立．?（12分）
由①②知，不等式对任意正整数n成立．?（13分） 20．（1）易知b?1，e?c2
a?22得a2?2c2?2a2?2b2,故a2?2．
x2?y2?1． 故方程为2（3分）
（2）证明：设l：y?k(x?2)，与椭圆C的方程联立,消去y得
(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0．由△＞0得0?k2? 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?8k2221． 221?2k,x1x2?8k?21?2k．
????????∴OA?OB?x1x2?y1y2
?x1x2?k2(x1?2)(x2?2)?(1?k2)x1x2?2k2(x1?x2)?4k2
10k2?27?5?= 221?2k1?2k771?7， ，∴?221?2k23故所求范围是[?2,)． （8分）
2?0?k2?（3）由对称性可知N(x2,?y2)，定点在直线AN：y?y1?x轴上．
y1?y2(x?x1)，令y?0得: x1?x216k?42y1(x1?x2)x1y2?x2y12x1x2?2(x1?x2)1?2k21?2k2x?x1?????1, 2y1?y2y1?y2x1?x2?48k1?2k2?16k2?4 ∴直线l过定点(1,0)． （13分）
21．（1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分． ?a???b??acos??bsin????b??????解：（Ⅰ）法一：M? ，即?b??a??asin??bcos??????a?? ，????????1分所以?????????acos??bsin???b?cos??0, 得 ????????3分 ???asin??bcos??a,?sin??1.
- 9 -
即M=?
?0?1??1?1 ，由MM????10??00??01??1得M??? 0?．??????4分 1???1?法二：同法一可求得M=?
0?1?0?1?因为 =1?0 , detM??1001??
?M?1?01??? ?． ???4分 ??10?1??x'?y矩阵N对应的线性变换为?2,??????????5分??y'?x?x?y'（Ⅱ）?? ,????????????6分y?2x'?代入x2?y2?1得4x2?y2?1??????7分（2）解：（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y?x和(x?1)2?(y?2)2?5????1分 则圆心为C（1，2），半径R= 5，???????????????????2分 从而C到直线y=x的距离d=
1?212?122 ???????????????3分 21?32????????????4分 2?由垂径定理得，|AB|=2R2?d2?25?（Ⅱ）解：曲线C1可化为：
22?cos???sin??2,即x?y?2???5分 22曲线C2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆?????????6分 （1,3）关于直线x?y?2的对称点（-1，1）故所求曲线为圆
?x?1?2??y?1??1?????7分
2（3）解：（Ⅰ）函数f?x?的图象恒在函数g?x?图象的上方，
即?x?R,2f?x??2x?3?g?x?4??m?2x?4?11?m?2x?7, ????1分 从而有m?2(x?7? x?3） ???????????2分 由绝对值不等式的性质知 2（x?7?x?3)?2x?7?(x?3)=20 因此，实数m的取值范围为(??,20] ???????????3分
- 10 -
（Ⅱ）解：由柯西不等式：
?????1?21212?111?2x?(3y)?(6z)???()?()?(?2x??3y??6z)2 ????222?????2?36??236???（5分）
因为2x2?3y2?6z2?a(a?0), 所以a?(x?y?z)2，
因为x?y?z的最大值是1,所以a?1，
当2x?3y?6z时，x?y?z取最大值，????????????6分 所以a?1． ??????????????7分
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