表示作用在单位体积流体上的 体力。例如在只有重力作用下，体力密度f的大小就是比重?g，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = －?a。为了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有
整理后得
?px?syz?(px??px)?syz??fx?v?0??py?szx?(py??py)?szx??fy?v?0?p?s?(p??p)?s?f?v?0?zzzxy?zxy
利用
???px??syz??fx?v?0????py?szx??fy?v?0???p?s?f?v?0?zzxy?
?px?px?px??syz???syz??x???v,?x?x?py?py?py??szx???szx?y???v,?y?y?pz?pz?pz??sxy???sxy??z???v,?z?z
可将前式简化成
??px?(??x??fx)??v?0???py??fy)??v?0?(???y??pz??fz)??v?0?(??z ?
显然体积?v≠0，所以只能是
?px???fx?0,?x。
??py?y??fy?0,?pz???fz?0?z 在上面的式子中取极限?x?0,?y?0,?z?0，就可得静止流体内任一点都 必须满足的方程
??p??fx?0,?x??p??fy?0,?y??p??fz?0?z。
借助梯度算符
?? 上式可以改写成更简洁的形式
???i?j?k?x?y?z，
?f??p 。
这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该点
处压强的梯度则流体一定处于静止状态。
3）重力场中流体内部压强分布
i)液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设液体的密度为?放置在一 长方形的容器内，液面的柱面高为z0，液体表面的压强为P0如图10.2.3所示。
在重力场中液体受到的体力密度为－?gk，由流体静力学普遍方程得
?p?0, ?x式得
?p?0,?y?p???g?z。
由上述方程知液体内部压强与坐标x、y无关，只是深度的函数。积分第三
p = ??gz + c，
当z=z0时P=P0.故c=P0+?gz0，所以液体内部压强随深度变化的关系为
P = ?g(z0?z) + P0 = ?gh + P0 ,
式中h为液面下的深度。上式表明静止液体内部的压强只与距离液面下的深度
有关与液体内部水平位置无关。
ii)气体：现在来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。为简单起见，假
定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。如果在地面处
空气的压强为P0、密度为?0，则理想气体的状态方程可表示成
PP0???0。
以地面为坐标系原点所在处，z轴垂直地面向上，由流体静力学方程
dp= ??gdz,。
将理想气体状态方程代入上式消除?得到
pdp???0gdzp0 ，
分离变量后
dp?gz????dzpp00，
pp0?0gpLn??zp0p0。
完成上面的积分得
所以压强随高度的变化
p?p0exp[??gz/?0]] ，
这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布。
4）帕斯卡原理
如果将不可压缩液体放在一个密闭的容器内，容器上端与一个可移动的活
塞相连。当活塞对液体表面施加的压强为P0时，按照重力场中液体内部压强
公式，在液面下深度为h处的压强为 P = P0+?g h 。
如果把活塞对液体表面的压强增大至P0+?P0，液面下h深处的压强也会变化，
按照液体内部压强公式，此时液体下h深处的压强变为
P??P0??P0??gh?P??P0。
这就是说当液体表面压强增加?P0时液体内任一点(h是任意)的压强也增大了
?P0，因此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液体
内的各个部份包括存放液体的器壁，这一结论称之为帕斯卡原理，是早期由
帕斯卡从实验中总结出来的，从现代观点看它是流体静力学方程的一个推论。
5）阿基米德定律
任何形状的物体置于密度为小等
于物体排开液体的重量。这是一个实验规律称为阿基米德定律。从现代观点
看，它也是流体静力学方程的推论。
如图10.2.4所示，物体完全浸没在密度为?的液体中。由于物体在液体中处
于平衡状态，因此它受到的浮力与同体积的液体所受
?的液体中都会受到液体的浮力，浮力的大
到合外力相同，这样我们可以将此物体用同体积的液体置换，置换部份液体受到的重力是??gdv。要使液体保持平衡，周围的液体必然对它有一个向上的面力（浮力）作用于它。由流体静力学方程
??gk??p，
dpdFdF??g???dzdxdydzdv， 得
或者dF???gdv。积分后得 F合=F2? F1= ??gv. ，于是得到浮力大小 F浮=F1?F2= ?gv
这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量。
例一；在密闭的容器内盛满密度为?1的液钵，在液体中浸放一长为L、密度为
?2的物体，如图10.2.5所示。设?2
速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？ 解：为了弄清物体向哪个方向运动，先用同体积的液体置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其它部份保持平衡。若将容器取为参照系，可利用流体静力学方程求出液体整体运动时内部压力分布。
由 f=?p,
dpf惯?,dx 得 dp??f重力dy
由于无沿y方向运动的可能性，故只讨论上式的第一个方程，其中 f惯= －?1a
所以液体内部沿x轴压强分布为p=－?1ax+c（c为常量），置换液体相对其它部份液体静止时两端的压强差为?p= ?1La，相应的压力差为?F=?1av(v为置换部份的体积)，在所选择的参照系看来，合外力F?=?F+F惯=?1av??1av=0，液体相对静止。对实际物体来说，受到的惯性力为F惯= ??2av，而物体两端的压力差不变仍然为?F，因此实际物体受到的合外力F?=?F+F惯=?1av??2av?0，由此可知，实际物体必然会相对液体沿x轴方向运动。