11.5 理想流体的流动 1）沿一条流线的欧拉方程
先来介绍流体力学中一个十分重要的方程??欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S，如图10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA，长为ds的一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为
参
照
方
向
）
?p?p?(p2?p1)dA???dAds??dv?s?s， ??
力的方向沿着流线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为?mg = ?gdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为?，则重力沿着流线切线方向的投影为（见图10.5.1）
?z?gcos?dv???gdv?s。
对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是
?p?z?dv??gdv??adv?s ?s ，
式中a为流体元沿流线切向的加速度。将?g用比重?表示，并消除上式中dv得到
?
?p?z????a?s?s。(1)
式中的切向加速度a可改写成
dv?v?s?v?v?va?????v?dt?s?t?t?s?t，
把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到
1?p?z?v?v?g?v??0??s?s?s?t，
?v?0 这就是沿一条流线的欧拉方程。 对于稳定流动?t ，欧拉方程退化成
1?p?z?v?g?v?0??s?s?s 。
由于此时只有一个变量（空间变量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得
dp?gdz?vdv?0 ?。
2）柏努利方程
无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必定满足上式。对理想流体，由于不可压缩上式中的密度?是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度?为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程
p1?gz?v2?常数2 ?。
上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量[M2S-2]。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即
pv2?z??常数2g ?。
对液体来说，用上式比较方便。若用?g乘上式就得到
12p??gz??v?常数2 ，
该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度z的变化往往是不很重要的，在精度要求不很高的情况可将其略去，这样方程显得简单。
现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一项P/?是单位质量流体流动时对外做的功或者流功，也就是单位质量流体对周围环境所做的功。为了弄清这一点可参见图10.5.2装置，一个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处，当水流动时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转。作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积dA，若再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r，就是作用在涡轮转轴上的力
矩。假定叶片在dt时间内转过d?角度，则力矩对涡轮做功
dw?Nd??PdAr?d?PdAd。s
式中ds是压力中心位移的大小，将上式除以d t时间内流出液体的总质量?dAds，就是单位质量的液体对涡轮所作的功
pdA?dsp??dA?ds? 。
第二项gz是单位质量流体的势能。因为质量为?m的流体在重力场中提高z高 度时重力所做的功是??mgz，这时流体的势能增加了?mgz，所以单位质量流体的势能就是gz。 v2/2项是单位质量流体的动能。因为质量为?m的流体以速度v运动时它具有动能是?mv2/2，故单位质量流体的动能为v2/2。从上面的分析可以知道，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时的能量方程。
关于柏努利方程的应用应注意下面几点，a)当所有的流线都源于同一流体库，且能量处处相同，这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同。这时对所有的流线来说柏努力数都相同，此时柏努力方程不限于对一条流线的应用。b）在通风系统中的气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气体可以看成不可压缩的，柏努利方程仍可适用，不过气流的密度应取平均密度。c)对渐变条件下的非稳定流动，也可用柏努利方程求解，这时引起的误差不会很大。d)对于实际流体的稳定流动，可先忽略流体的粘滞性，用柏努利方程得到一个理想的结果，然后再用实验作一些修正，也就是说要加入能量损耗项。
例题，水正沿着如附图所示的管内流动，管上端的直径为2米，管内流速为3米/秒。管下端的直径为1米，管内流速为10米/秒。假定流体可视为理想流体，沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。
解：沿管的中心取一条流线，按柏努利方程在流线的两端1、2处
2v1p1v2p??z1?2?2?z22g?2g? ，
由已知P1=P2所以
(z1?z2)?122(v2?v1)2g。
设管上端与地面的落差为y，显然 y=z1?z2?0.5，由此得到
y?
122(v2?v1)?0.52g。
将v1=3米/秒，v2=10米/秒代入上式，解得y=3.64米。
11.6 实际流体的流动 1）斜面上稳定的层流
在实际流体的流动过程中必须考虑流体的粘滞性。各流动层之间的内摩擦力使实际流体的流动变成不可逆过程，也造成流动过程中能量的损耗。现在考虑平行斜面的稳定层流，如图10.6.1所示。设上平面的流速为v，它的流动平行于斜面，下平面与斜面接触流速为零，整个流动层的厚度为a，各流动层之间存在速度梯度。为了分析方便，在流体内沿流动层隔离出一个高度为dy、
长度为dl、单位宽度的薄片状流体元，如图中央的长方块所示。在稳定流动条件下此薄片以恒定速度u沿斜面向下流动。在流动过程中，该薄片状流体元一共受到三个力的作用。a)平行于斜面方向的压力，其大小为（以流速方向为正方向）
dpdppdy?(pdy?dy?dl)??dydldldl 。
b)粘滞力，薄片流体元上、下两面的剪应力，由牛顿粘滞力定律知其大小为
??dl?(?dl?
d?d?dydl)?dydldydy。
c)薄片状流体元受到的重力，其大小为rgdldy方向竖直向下，设重力与斜面法线
的夹角为q，则重力在沿斜面方向分量就是
dh?gsin?dldy???g()dldydl 。
式中dl是流体元沿斜面的长度，dh是流体元两端距地面的高度差。由于讨论的是稳定流动，此薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零，其动力学方程就是
dpd?dh?dydl?dydl??g()dldy?0dydl dl，
将上式除以dydl，整理后得