响较小，所以滤波后噪声点处(x,y)取值和周围其他值更接近，有利于消除“胡椒”噪声。
（b）当Q<0时，?? ??,?? ??对?? ??,?? 有削弱作用，由于“盐”噪声值较大，取倒数后较小，对加权平均结果的影响较小，所以滤波后噪声点处(x,y)取值和周围其他值更接近，有利于消除“盐”噪声。
【作业5】
1、请证明带通与带阻的频域关系公式，即课本中的关系公式
Hbp ??,?? =1?Hbr ??,??
【解答】证法一 设D0是带宽的径向中心，W是带宽，D是D(u,v)距滤波器中心的距离。 理想带通滤波器的频域公式为：
????
?????? ??,?? = 1,??0?2≤??≤??0+2 0,????????????
理想带阻滤波器的频域公式为：
????
?????? ??,?? = 0,??0?2≤??≤??0+2
1,????????????
由此可知
?????? ??,?? =1??????? ??,??
图形化表示即为：
图中黑色代表0，白色代表1，左图是带阻滤波器，右图是带通滤波器。可以发现两图是“互补”的，若将对应点数值相加，则全为1。
证法二 一张图像f (x, y)可拆分为带阻部分fr (x, y)和带通部分fp (x, y)，即
?? ??,?? =???? ??,?? +???? ??,??
也可看做由带阻滤波器和带通滤波器分别卷积后叠加所得：
?? ??,?? =?? ??,?? ??????? ??,?? +?? ??,?? ??????? ??,??
11
等式两边取傅里叶变换得
?? ??,?? =?? ??,?? ?????? ??,?? +?? ??,?? ?????? ??,?? ?? ??,?? =?? ??,?? ?????? ??,?? +?????? ??,??
?????? ??,?? +?????? ??,?? =1 ?????? ??,?? =1??????? ??,??
2、复习理解课本中最佳陷波滤波器进行图像恢复的过程，请推导出w(x,y)最优解的计算过程，即从
2?s(x,y)公式=0到 ?w(x,y)w(x,y)=h(x,y)g(x,y)-g(x,y)h(x,y)h(x,y)-h(x,y)22的推导过程。
【解答】
因为
12 ????,?? = ?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ?? ??+??,??+??
2??+1 2??+1 ??=?????=?????
??
? ?? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,?? 2
所以对w(x, y)求偏导数，并令其等于0
????2 ??,?? ??1
= ?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ??????,????????,??2??+12??+1??=?????=?????
??
+?? ??,?? ?? ??,?? ??? ??+??,??+?? 2=0
令??=?? ??,?? ??? ??+??,??+?? ，??=?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ，??= 2??+1 2??+1 ，则上式可简写成
????2 ??,?? ??1
= ???? ??,?? +?? 2
???? ??,?? ???? ??,?? ??1?? ???? ??,?? +?? 2= =0 ?????? ??,?? ??=?????=?????
??
??=?????=?????
??
已知
?? ???? ??,?? +?? 2
=2 ???? ??,?? +?? ??=0
???? ??,?? 的解为
??
?? ??,?? =?
??所以
1?? ??+??,??+?? ??? ??,??
????,??=
???? ??+??,??+?? ??? ??,?? ??=?????=?????
??
12
?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ?? ??+??,??+?? +?? ??,?? 1
= ?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ?? ??+??,??+?? +?? ??,?? ????=?????=???
??
????
令??=?? ??+??,??+?? ，??=?? ??+??,??+?? ，则上式等于
1??????? ??,?? ??+???? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,??
= ????2 ??+??,??+?? ??? 2 ??,?? ??=?????=???
??
?? ??,?? ?? ?? ,?? ??? ??,?? ?? ??,?? +?? ??,?? ?? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,??
= 22 ?? ??,?? ??? ??,??
??,?? ?? ?? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,??
= 22 ?? ??,?? ??? ??,??
推导成立。
3、考虑在x方向均匀加速导致的图像模糊问题。如果图像在t = 0静止，并用均匀加速x0(t) = at2/2加速，对于时间T, 找出模糊函数H(u, v)，可以假设快门开关时间忽略不计。 【解答】
由定义可知
H u,v = ?????2?? ????0 ?? +????0 ?? ????
0??
将??0 ?? =
????22
，??0 ?? =0代入得
H u,v = ??
0??
?
??2????????2
2????= ?????????????????
0
??
2
上述积分难以化简，故不再推导。
4、已知一个退化系统的退化函数H(u, v)，以及噪声的均值与方差，请描述如何利用约束最小二乘方算法计算出原图像的估计。 【解答】
频域中原图像的估计由下式给出
??? ??,??
??,?? = ?? G u,v
H u,v 2+?? P u,v 2其中P(u, v)是拉普拉斯算子的傅里叶变换。
， 和??都是??的函数。 ??,?? 是??的函数，定义“残差”向量??=???????由于??则??令?? ?? =??????= ?? 2，则它是??的单调递增函数。
再调整??使 ?? 2= ?? 2±??，??是一个精确度因子。
2
已知噪声的均值为????，方差????，和H u,v 、P u,v ，
（1）设定一个??的初始值，
13
（2）计算 ?? 2，
（3）若满足 ?? 2= ?? 2±??则执行第4步，若不满足，则调整??大小，然后返回第2步。 （4）使用最新的??，计算
??? ??,??
??,?? = ?? G u,v
H u,v 2+?? P u,v 2（5）再通过傅里叶反变换即可得到估计图像。
【作业6】
1、r, g, b是RGB彩色空间沿R,G,B轴的单位向量，定义向量
????????????u=??+??+??
????????????????????????v=??+??+??
????????????将??????，??????，??????定义为这两个向量的点乘：
??????
222
????????????
=u?u=u??u= + +
????????????222????????????
??????=v?v=v??v= + +
??????????????????????????????????????
??????=u?v=uv=++
????????????????????????推导出最大变换率方向??和点(x, y)在??方向上变化率的值F(??)。 【解答】
要求最大变换率方向，即求使 ?? cos??+?? sin?? 2取最大值的??。
?? cos??+?? sin?? 2=??2cos2??+2????sin??cos??+??2sin2?? ==
将上式对??求偏导得
??11
??????+?????? + ????????????? cos2??+??????sin2?? ????22=? ????????????? sin2??+2??????cos2??
令上式等于0，解方程求出??的值
? ????????????? sin2??+2??????cos2??=0 ????????????? sin2??=2??????cos2??
14
11
?????? 1+cos2?? +??????sin2??+?????? 1?cos2?? 2211
??????+?????? + ????????????? cos2??+??????sin2?? 22tan2??=??=
2??????
?????????????
2??????1
tan?1 2?????????????
此即是最大变换率方向，对应的变化率值为
11
?? ?? = ??????+?????? + ????????????? cos2??+??????sin2??
22【作业7】
1、请根据课本中Z变换的定义，证明如下结论。
（1）若?? ?? 的Z变换为?? ?? ，则 ?1 ???? ?? 的Z变换为?? ??? 。 （2）若?? ?? 的Z变换为?? ?? ，则?? ??? 的Z变换为X(1/z)。 【解答】
（1）由Z变换定义可知，?? ?? 的Z变换是：
∞
?? ?? = ?? ?? ?????
?∞
则 ?1 ???? ?? 的Z变换为：
∞
∞
∞
?1 ???? ?? ?????= ?1 ????? ?? ?????= ?? ?? ??? ???=?? ???
?∞
?∞
∞
?∞
（2）?? ??? 的Z变换为：
?? ??? ?????
?∞
令??′=???，则上式可写成：
1′
?? ??′ ????= ?? ??′
???∞
?∞
∞
∞
???′
1=??
??
2、若G1 z =?z?2K+1G0 ?z?1 成立，请证明g1 n = ?1 n+1g0 2K?1?n 。 【解答】
已知??1 ?? 的Z变换是??1 ?? ，??0 ?? 的Z变换是??0 ?? ， 根据Z变换的时间翻转性?? ??? ??? ???1 可得
??0 ??? ???0 ???1
根据Z变换的平移性?? ????? ???????? ?? 可得
??0 ? ???2??+1 ????2??+1??0 ???1
根据Z变换的Z域翻转性 ?1 ???? ?? ??? ??? 可得
?1 2???1?????0 2???1??? ? ??? ?2??+1??0 ??? ?1
15