即AC?BC?sinB?sinA5?265?7. 267 ??????（6 分）
（Ⅱ）解: 在△ABC中,AC?7,BC?5,cosB?1, 5??????（8 分）
由余弦定理得AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB,
1即49?AB2?25?2AB?5?,
5整理得AB2?2AB?24?0,解得AB?6.
11∵在△BCD中,BD?AB?3,BC?5,cosB?,
25??????（10分）
∴由余弦定理得CD2?BD2?BC2?2BD?BC?cosB, ??????（11分）
1即CD2?9?25?2?3?5??28.
5∴CD?27. ??????（13分）
（16）（本题13分）理科
（Ⅰ）解: 设“一次取出的3张牌中的花色互不相同”的事件记为A, ???（1 分）
3111C4?C3?C3?C310827??则P(A)?. 322055C12 ??????（5 分） ??????（6 分） ??????（7 分） ??????（8 分） ??????（9 分） ??????（10分）
（Ⅱ）解: 由题意,随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
3C98421P(X?0)?3??,
C1222055
12C3?C93?3627P(X?1)???, 322055C1221C3?C93?927P(X?2)???, 3220220C123C31P(X?3)?3?.
C12220
∴随机变量X的分布列是:
1 2 3 27271????（11分） P 55220220 21272711653∴数学期望E(X)?0??1??2??3???. ?（13分）
55552202202204X 0 21 55（17）（本题13分）文科
（Ⅰ）证明:∵PD?平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴CD?PD.
- 6 -
??????（1 分） ??????（2 分） ??????（3 分） ??????（4 分）
∵CD//AB,AB?BD, ∴CD?BD. ∵PD?BD?D, ∴CD?平面PBD. ∵PB?平面PBD, ∴CD?PB.
（Ⅱ）证明:如图,连接AC,与BD相交于点O,连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O为AC的中点. ∵E为PA的中点, ∴EO//PC.
??????（6 分） ??????（8 分）
P∵EO?平面BED,PC?平面BED,
∴PC//平面BED.
（Ⅲ）解: 如图,作OF//AB,交AD于F点,
则F为AD的中点. ????（9 分） ∵AB?BD,OF//AB, ∴OF?BD. ??????（10分） 连接EF,则EF//PD,
∵PD?平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴PD?BD,从而EF?BD. ∴BD?平面EOF. A∴?EOF是二面角E?BD?A的平面角.
11∵PD?AB,EF?PD,OF?AB,
22∴EF?OF. ∵EF?OF, ∴?EOF?45?.
∴二面角E?BD?A的大小为45?.
（17）（本题13分） 理科
依题意,以点B为原点建立空间直角坐标系（如图）, 设AB?2,可得B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
??????（5 分）
ED
FOCB??????（11分）
??????（12分） ??????（13分）
A1(2,0,1),C1(0,2,1),D(0,1,0). 设平面ADC1的法向量为n?(x,y,z),
??????（1 分）
????（2 分）
（Ⅰ）证明:∵AD?(?2,1,0),AC1?(?2,2,1),A1B?(?2,0,?1).
???2x?y?0,?n?AD?0,则有? 即?
?2x?2y?z?0.n?AC?0.??1?A令x?1,得n?(1,2,?2). ??（4 分） 1B1zC1EBDCy∵A1B?n?(?2)?1?0?2?(?1)?(?2)?0, ∴A1B?n. ??????（5分） ∵A1B?平面ADC1, ∴A1B//平面ADC1.
Ax
??????（6 分）
（Ⅱ）解: 易知平面ADC的一个法向量m?(0,0,1),
由（Ⅰ）可知平面ADC1的法向量n?(1,2,?2), ∴cos?m,n??m?n?22???. m?n1?33 ??????（8 分）
∵二面角C?AD?C1是锐二面角,
2∴二面角C?AD?C1的余弦值为.
3（Ⅲ）解: ∵E(1,0,1),AE?(?1,0,1),DC1?(0,1,1),
??????（9 分） ??????（10分）
- 7 -
∴cos?AE,DC1??AE?DC1AE?DC1?11?. 2?22
??????（12分） ??????（13分）
∴AE与DC1所成的角为60?.
（18）（本题13分）
（Ⅰ）证明:∵an?1?an?6an?1?9?0,
∴an?1(an?3)?3(an?1?3)?0.
∴an?1(an?3)?3(an?1?3). 由a1?3?0,可知an?3?0, ∴即∵
an?1111???. an?33(an?1?3)3an?1?3111??. an?3an?1?3311?, a1?33 ??????（2 分）
??????（4 分） ??????（5 分）
∴数列{111}是首项为,公差为的等差数列. an?333111n??(n?1)?, an?3333??????（6 分） ??????（7 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）得
3(n?1). ??????（9 分） nan3(n?1)1311????3(?),????（11分） （Ⅲ）解: ∵bn?nnn?1(n?1)2(n?1)2n(n?1)∴数列{an}的通项公式an?∴Tn?b1?b2?b3???bn
1111111?3[(1?)?(?)?(?)???(?)]
22334nn?113n. ??????（13分） ?3(1?)?n?1n?1（19）（本题14分） （Ⅰ）解:∵AB?AF1?BF1?8,即AF1?AF2?BF1?BF2?8,
而AF1?AF2?BF1?BF2?2a, ∴4a?8,即a?2.
c1∵e??,
a2
??????（1 分） ??????（2 分）
∴c?1,则b?a2?c2?3. x2y2??1. ∴椭圆C的方程为43
??????（4 分） ??????（5 分）
?y?kx?m,?（Ⅱ）证明:由?x2y2 得(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0. ?????（6 分）
??1,?3?4如图,设P点的坐标为(x0,y0),依题意m?0且??0, ??????（7 分）
即??64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?0, 整理得4k2?3?m2.
??????（8 分）
- 8 -
4k234km4k?m?, 此时x0??2,y0?kx0?m????mmm4k?3∴P点的坐标为(?4k3,). ??（10分） mmQx??4PF1yAOF2?y?kx?m,由?解得y??4k?m.
x??4,?xB∴Q点的坐标为(?4,?4k?m). ??（12分）
由F1(?1,0)求得kPF1∴kPF1?kQF1??1.
3?03?4k?m?0m?4km,kQF1?, ????4km?4k?4?13??1m∴直线PF1垂直于直线QF1.
（20）（本题14分）
??????（14分）
（Ⅰ）解:当a?1时,函数f(x)?x2?3x?lnx,
2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?则f'(x)?. xx ??????（1 分）
令f'(x)?0,得x1?1,x2?1, 2当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (0,1) 2+ 1 20 极大值 1(,1) 2- ↘ 1 0 极小值 (1,??) + ↗ ↗ ∴f(x)在(0,当x?11)和(1,??)上单调递增,在(,1)上单调递减. ??（2 分） 22115时,f(x)极大值?f()???ln2, 224
??????（4 分）
当x?1时,f(x)极小值?f(1)??2.
（Ⅱ）解:依题意ax2?(2a?1)x?lnx?2ax2?2(a?1)x,
即ax2?x?lnx?0. 则a?lnx?x. x2 ??????（5 分）
1(?1)x2?2x(lnx?x)1?x?2lnxlnx?xxr'(x)??令r(x)?,则. ?（6 分）
x4x3x2当0?x?1时,r'(x)?0,故r(x)单调递增（如图）,
y11且r()?e?1?1e21e??e2?e?0；
y?aO1xy?r(x)
- 9 -
当x?1时,r'(x)?0,故r(x)单调递减,且
lnx?x?0. x2??????（8 分）
∴函数r(x)在x?1处取得最大值r(x)max?r(1)?1. 故要使y?lnx?x与y?a恰有两个不同的交点,只需0?a?1. x2
??????（9 分）
∴实数a的取值范围是(0,1).
（Ⅲ）文科
解:由g(x)?ex?x?1,得g'(x)?ex?1, 由g'(x)?0,得x?0；由g'(x)?0,得x?0, ∴g(x)在(??,0)上是减函数,在(0,??)上是增函数. 故g(x)min?g(0)?0.
对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有f(x1)≤g(0)?0恒成立.
即不等式f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立. 2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)f'(x)??,
xx⑴ 当a?0时,f'(x)?1?x, x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. ∵f(x)max?f(1)??1?0, ∴a?0符合题意. ⑵ 当a?0时,f'(x)?
??????（11分）
(2ax?1)(x?1),
x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. 由f(x)max?f(1)??a?1≤0,解得?1≤a?0, ∴?1≤a?0符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是[?1,0].
（Ⅲ）理科
解:由g(x)?ex?x?1,得g'(x)?ex?1, 由g'(x)?0,得x?0；由g'(x)?0,得x?0, ∴g(x)在(??,0)上是减函数,在(0,??)上是增函数. 故g(x)min?g(0)?0.
对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有f(x1)≤g(0)?0恒成立.
即不等式f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立.
??????（14分）
- 10 -
2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)f'(x)??,
xx1?x⑴ 当a?0时,f'(x)?,
x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1,
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. ∵f(x)max?f(1)??1?0,
∴a?0符合题意.
(2ax?1)(x?1)⑵ 当a?0时,f'(x)?,
x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. 由f(x)max?f(1)??a?1≤0,解得?1≤a?0,
∴?1≤a?0符合题意. ??????（12分）
(2ax?1)(x?1)1⑶ 当a?0时,f'(x)?,由f'(x)?0,得x1?,x2?1,
x2a1① 当0?a?时,x1?1,
211由f'(x)?0,得0?x?1或x?；由f'(x)?0,得1?x?,
2a2a1∴f(x)在(,??)上是增函数,与f(x)≤0对于任意x?(0,??)恒成立矛盾.
2a(x?1)21②当a?时,f'(x)?≥0,f(x)在(0,??)上是增函数,
x2与f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立矛盾.
??????（10分）
1时,0?x1?1, 211由f'(x)?0,得0?x?或x?1；由f'(x)?0,得?x?1,
2a2a∴f(x)在(1,??)上是增函数,与f(x)≤0对于任意x?(0,??)恒成立矛盾. ③ 当a?综上所述,实数a的取值范围是[?1,0].
??????（14分）
- 11 -