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均方程法
将连续方程中和动量方程中的变量瞬时速度ui ,瞬时压力p分解为时均值和脉动值之和。若用Ui和ui ‘可分别表示速度的时均值和脉动值，用P和p’分别表示压力的时均值和脉动值，则有:
将式(2-9代入连续性方程和动量方程中，可得到惯性直角坐标系下，不可压缩流动的湍流时均运动基本方程:
方程(2-11)即为湍流时均的运动方程，也称雷诺方程。与N-S方程比较可以看到，两个方程具有相同的形式，都是由非定常项、对流项、扩散项和源项组成。只是雷诺方程增加了脉动流速的二阶关联项一pu=可，即雷诺应力项，它代表了湍流脉动对时均流动的影响。因此，雷诺方程在数学上不封闭。要使方程组封闭必须对雷诺应力做出某种假定，即建立雷诺应力的表达式(或引入新的湍流模型方程)，通过这些表达式或湍流模型，把湍流的脉动值与时均值联系起来。目前工程研究中广泛应用的湍流雷诺应力及其关联项的封闭模型主要分为两大类:雷诺应力模型和涡粘模型，下面简要介绍这两类湍流模型。 (1)雷诺应力方程模型RSM
在雷诺应力模型方法中，直接构建表示雷诺应力的方程，然后联立求解时均连续方程，时均动量方程及雷诺应力方程。通常情况下，雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型。若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式则称代数应力方程模型。由于需要增加较多的计算方程，因此需要增加很多计算资源,一般计算机上很难完成。而且现在没有可靠的计算结果表明，其计算结果比涡粘性模型准确，只是理论上相对完善，所以本文不详细叙述雷诺应力模型，而着重介绍本文采用的涡粘性模型。 (2)涡粘性模型
在涡粘性模型方法中，不直接处理Reynolds应力项，而是引入湍动粘度(turbulent viscosity)，或称涡粘系数(eddy viscosity)，然后把湍流应力表示成涡粘系数的函数，整个计算的关键在于确定这个涡粘系数。
涡粘系数的提出来源于Boussinesq提出的涡粘假定，该假定建立了Reynolds应力相对于平均速度梯度的关系，即:
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引入Boussinesq假定以后计算湍流流动的关键就在于如何确定μt，依据确定μt的微分方程的数目多少，涡粘模型包括:零方程模型、一方程模型和两方程模型。目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型是标准k-ε方程，还有各种改进的k-ε模型，比较著名的是RNG k -ε模型和可实现(Realizable ) k -ε模型。
1-4控制方程的求解方法
1-4-1控制方程的离散方法
CFD的基本思想可归结为:把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场，如速度场和压力场，用一系列有限个离散节点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。节点之间的近似解，一般认为光滑变化，原则上可以应用插值方法确定，从而得到变量在整个计算域上的近似解。可以预料，当网格节点很密时，离散方程的解将趋近于相应微分方程的精确解。
由于应变量在节点之间分布的假设及推导离散方程方法的不同，就形成了有限差分法、有限元法和有限体积等不同类型的离散化方法。其中，有限体积法是近年发展非常迅速的一种离散化方法，计算效率高。目前大多数商用CFD软件都采用这种方法，本文所使用的FLUENT软件采用的就是这种离散方法。其基本思路是:将计算区域划分网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量Φ。为了求出控制体积的积分，必须假定Φ值在网格点之间的变化规律。 就离散方法而言，有限体积法可视为有限单元法和有限差分法的中间物。有限元法必须假定Φ值在网格节点之间的变化规律(即插值函数)，并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上Φ的数值而不考虑Φ值在网格节点之间如何变化。有限体积法只寻求Φ的节点值，这与有限差分法相类似;但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定Φ值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数;所以如果需要的话，可以对微分方程中不同的变量采取不同的插值函数。
在应用有限体积法导出离散方程的过程中，很重要的一步是将控制体积界面上的物理量及其导数通过节点物理量插值求出。引入插值方式的目的就是为了建立离散方程，不同的插值方式对应于不同的离散结果，因此，插值方式常称为离散格式。常用的离散格式包括中心差分格式、一阶迎风格式、二阶迎风格式、QUICK格式、混合格式、指数格式、乘方格式等。 1-4-2流场数值计算的SIMPLE算法
对离散后的控制方程组的求解方法可分为藕合式解法和分离式解法，如图2-3所示。
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对于不可压缩流体的运动，压力本身没有自己的控制方程，压力梯度以源项的形式出现在动量方程中，但压力与速度的关系可以通过连续性方程确定。为解决压力所带来的流场求解难题，人们提出了若干从控制方程中消去压力的非原始变量法，这种方法求解未知量中不再包括原始未知量(u, v, p)中的压力项p，而另一种方法是基于求解原始变量(u, v, p)的分离式解法。目前工程上使用最为广泛的流场数值计算方法是原始变量法中的压力修正法。压力修正法的实质是迭代法，在每一时间步长的运算中，先给出压力场的初始猜测值，据此求出猜测的速度场。再求解根据连续方程导出的压力修正方程，对猜测的压力场和速度场进行修正。如此循环往复，可得出压力场和速度场的收敛解。压力修正法有多种实现方式，其中应用最为广泛的是1972年Patanker和Splding提出的压力藕合方程组的半隐式方法一一SIMPLE C Semi-Implicit Method for PressureLinked Equations)算法。
SIMPLE算法采用有限体积法，在交错网格上对用原始变量写成的基本方程进行离散。所谓交错网格，就是将压力和速度分量在不同的网格系统上离散，从而弥补同位网格下离散后的动量方程不能检测有问题的压力场的缺陷。 SIMPLE算法的基本思路如下:
首先对不可压缩流动的动量方程进行离散化，不同的离散方法，格式稍有不同。对于稳态问题，可以离散为如下形式:
在上式中，假定一压力场厂，由压力场通过动量方程求得中间速度场u\，显然该速度场一般不可能刚好满足连续性方程，因此假设正确的压力场P和速度场u可由下式修正得到。
将式(2-28及(2-29)代入动量方程，并离散化，减去矿所满足的动量方程，得到速度修正方程(假定源项S不变)。
显然，由于u’与邻点的压力校正P’有关，因此u’与计算域内所有点的P’有关，在实际计算中，这种全场藕合是做不到的。因此略去(2-30)式右边第一项，代入式(2-29）得到简化的速度校正方程:
在计算中，考虑到计算的稳定性，对式(2-31)采用适当的松弛因子，有:
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在收敛的条件下，以上速度应满足连续性方程。将式(2-32)代入离散的连续性方程中，得到压力校正方程如下所示:
由压力校正方程，即可得到压力修正值。用得到的新的压力场，求得新的速度场。检查速度场是否收敛。若不收敛，用修正后的压力场作为给定的压力值，开始下一层次的计算，如此反复，直到获得收敛的解。
SIMPLE算法自1972年问世以来，在计算流体力学及计算传热学中得到广泛应用的同时，也以不同方式得到不断的改进与发展，其中最著名的改进算法包括SIMPLEC ,SIMPLER和PISO算法等，在此本文就不详细介绍了。
2、离心泵建模及数值模拟方案
2-1离心泵模型参数
本课题以单级单吸MH48-12._5型石油化工离心泵为范例进行数值模拟。该模型叶片数为4片。其他详细设计参数参见表3-1
模型也提供了0.6Qopt、Qopt、1.2Qopt三个工况下的试验数据，如表3-2所示。这些数据将被用作判断数值模拟精度的标准(数据均为常温下清水试验值)。
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该模型还提供了试验性能曲线图(如图3-1所示)以及叶轮和蜗壳的水力模型图(如图3-2和图3-3所示)。
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