??????????????????P????p0ndS???p0ndS?????1z?ndS?????1z?ndS?????2z?ndS?????2z?ndS??S??S??S?S2S0S0?1??1??2????????p0ndS?????1z?ndS?????2z?ndSSS1?S0S2?S0利用高斯公式，可以得到：
?P???????p0?dV???????1z?dV???????2z?dVVV1V2?0???????1V1k??2V2k?1V1??2V2?k即物体受到的浮力为P?????1V1??2V2?k。
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第三章 流体运动学
3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：
???u????v???0； ?x?y存在函数：
P(x,y,t)???v和Q?x,y,t???u，
并且满足条件：
??Q???P??。 ?x?y因此，存在流函数，且为：
??x,y,t???Pdx?Qdy?????v?dx???u?dy。
3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?
答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。
3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。 （1）u?mxmy ?2, v??2222?x?y2?x?y（2）u?Kty2?x2?x?2?y22??, v??2Ktxy?x2?y22?，其中m，K为常数。
答：（1）流场的加速度表达式为：
ax??u?u?u?v?v?v?u?v, ay??u?v。 ?t?x?y?t?x?y?u?v?0, ?0，因此： ?t?t由速度分布，可以计算得到：
?um?2xy?umy2?x2，； ????222222?y2??x?y??x2?x?y???vm?2xy???x2?x2?y2??2?vmx2?y2，。 ??222?y2?x?y?? - 12 -
代入到加速度表达式中：
mxmy2?x2mym?2xyax?0??2??????2?x?y22?x2?y222?x2?y22?x2?y2????2x?m???????2??x2?y22
??2mxm?2xyay?0??2??2?x?y22?x2?y2??2mymx2?y2??2??22?x?y2?x2?y22??y?m??????2?2??x?y22
??2（2）由速度分布函数可以得到：
?uKy2?x2?v?2Kxy ?, ?222223?t?tx?yx?y???????ux2?3y2?u3x2?y2，； ?2Ktx??2Kty?332222?x?yx?yx?y?????????vy2?3x2?vx2?3y2，。 ??2Kty???2Ktx?332222?x?yx?yx?y????????代入到加速度表达式中：
ax?K??Kt??K?y2?x2?x22?y22??Kt?y2?x2?x22?y22??2Ktx?x2?3y2?x2?y2?32xy?x?x?y22??2Kty???Kt?23x2?y2?x?x?y2x23?
y2?x22?y2?22?y2?3ay??K??Kt??x2xy2?y2222??Kt??xy2?x22?y222????2Kty???xy2?3x22?y2?3?x2xy2??K??x?y2xy2????2Ktx????Kt?2?x2x2?3y2?y2y?y223?
?y2?2?x?33-4已知欧拉参数表示的速度场分布为u?x?t，v?y?t，试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。已知t?0时x?a，y?b。
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答：（1）流体质点的轨迹方程为：
?dx?udt， ??dy?vdt将速度分布带入，得到：
?dx??x?t?dt ???dy?y?tdt?两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改写为：
dx?x?t dt该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为t。先求齐次方程的通解，齐次方程为：
dxdx?x，即?dt； dtx两端同时积分得到：
lnx?t?C，x?Cet。
（2）令非齐次方程的特解为：
x*?t??C?t??et，
对其两端求导得到：
dx*?t??C??t??et?C?t??et； dtdx*?t?将上述x?t?和代入到原非齐次方程中，有： dt
*C??t??et?C?t??et?C?t??et?t。
整理得到：
C??t??t?e?t，
两端同时积分：
C?t???t?e?tdt???t?1?e?t?C1
代入到特解中得到：
x*?t??C?t??et???t?1?e?t?C1et???t?1??C1et。
（3）将初始条件t?0时x?a代入上式，得到：
?? - 14 -
C1?a?1，
因此：
x*?t????t?1???a?1?et，
同理可得：
y*?t????t?1???b?1?et。
轨迹方程为：
?????r?t??x*?t?i?y*?t?j???t?1??(a?1)eti???t?1??(b?1)etj。
????（4）用拉格朗日法表达的速度为：
?????r?t?ttv?t????a?1?ei??b?1?ej。
?t3-5 绘出下列流函数所表示的流动图形（标明流动方向），计算其速度、加速度，并求势函数，绘出等势线。（1）??x?y；（2）??xy；（3）??xy；（4）??x2?y2。 答：（1）??x?y
①流动图形：流线方程为x?y?C，流线和流动方向如图中实线所示；
②速度：u???????1， ?1，v???x?y?????v?ui?vj?i?j，流场为均匀流动；
③加速度：a?axi?ayj?0； ④求速度势函数：
由于平均旋转角速度：?z?数?(x,y)存在：
?x,y??x,0?0,0???1??v?u?1?????2?0?0??0，因此流场为无旋流场，势函2??x?y???x,y?x,0?(x,y)?udx?vdy??udx??vdy?x?y； ???????0,0⑤等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。 （2）??xy
①流动图形：流线方程为xy?C，流线和流动方向如图中实线所示；
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