11??D?p0?r02?px?r02???r02U2??r02?p0?px??U2?。
33??4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。
答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：V?（1）求涡线对R点的诱导速度：
诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3： 涡线1：方向垂直纸面向外：
??cos?2?cos?1?； 4?RVR1???cos?2?cos?1?； 4?l其中?2?0，cos?2?1；cos?1?因此：
dl?d22；
??d?1?VR1?4?l?l2?d2???。 ??涡线2：方向垂直纸面向内：
cos?2?则：
ll?d22，cos?1?cos????2???cos?2??ll?d22；
VR2????ll????2?4?d?l2?d2?l?d2????l????； ?22?2?dl?d??涡线3：方向垂直纸面向外：
VR3?VR1
则对R点总诱导速度为：
VR?2VR1?VR2???d?1?2?l?l2?d2??????2?d?ll?d22
（2）求涡线对Q点的诱导速度：
涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：
cos?2?1，cos?1??
dl?d22；
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则：
????l?cos?2?cos?1???1??VQ1?VQ3???4?l4?l?l2?d2??涡线2方向垂直纸面向外：
????l????1???l2?d2???4?l???； ??VQ2?VR2??l； ?222?dl?d则对Q点总诱导速度为：
VQ?2VQ1?VQ2??d?1??2?l?l2?d2??????2?d?ll?d22；
（3）求涡线对P点的诱导速度：
涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：
cos?2?1，cos?1?0；
VP1?VP3?则：
????1?0??； 4?l4?l?。 2?lVP?2VP1?
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第五章 势流理论
5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于(0，-5)，试求： (1)点涡的强度；(2) (0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。 答：（1）求点涡的强度?：
设点涡的强度为?，则均匀流的速度势和流函数分别为：
?1?u0x，?1?u0y；
点涡的速度势和流函数为：
?y???2??arctg，?2?ln(x2?y2)2?lnr；
2?x2?2?因此，流动的速度势和流函数为：
1???1??2?u0x??y?arctg?u0rcos???， 2?x2?1??222???1??2?u0y?ln(x?y)?u0ysin??lnr；
2?2?则速度分布为：
u??????y， ??u0??2?x?y2?x?y2?????x； ????22?y?x2?x?yv?由于(0,?5)为驻点，代入上式第一式中则得到：
u0???5?2?0， 22?0?(?5)整理得到：
??10?u0?100?。
（2）求(0,5)点的速度：
将??100?代入到速度分布中，得到：
u?u0??y100?y50y?2?10???10?， 222222?x?y2?x?yx?y - 38 -
v??x100?x50x； ?2???222222?x?y2?x?yx?y将x?0、y?5代入上述速度分布函数，得到：
u?10?50?5?10?10?20（m/s），
02?5250?0v?22?0（m/s）；
0?5（3）求通过(0,5)点的流线方程：
由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程??C，则流线方程为：
1?222u0y?ln(x?y)?C；
2?将x?0、y?5代入，得到：
1100?222C?10?5??ln(0?5)?50?50ln5；
2?则过该点的流线方程为：
1100?10y?ln(x2?y2)2?50?50ln5，
2?整理得到：
y?5ln(x?y)?5?5ln5
5-2 平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m3/s，已知流体密度为ρ=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。 答：（1）求(0,0)、(0,1)和(1,1)点的速度：
2122m22点源的速度势为：?1?1ln?x?1??y2???12?m12ln?x?1??y2， 4???m12ln?x?2??y2； 4???m22点汇的速度势为：?2??2ln?x?2??y2???12??u??x?1??m2??x?2?， ????1??2m1?????x?x?x2??x?1?2?y22??x?2?2?y2- 39 -
v?????1??2m1ym2y； ??????2222?y?y?y2??x?1??y2??x?2??y①将x?0、y?0代入，并注意到m1??1及m2??2，得到(0,0)点的速度为：
u??0?1??m2??0?2??m1?1?m2?20?1?40?20， m1?2??0?1?2?022??0?2?2?022?22?2?22??m10m20????0； 2??0?1?2?022??0?2?2?02v?其合速度为：
V(0,0)?u2?v2?20?（m/s）。
②将x?0、y?1代入，得到(0,1)点的速度为：
u??0?1??m2??0?2??1?m1?2?m2?1?20?2?40?13， m1?2??0?1?2?122??0?2?2?1222?52?22?52??m11m211201401????????； 22222??0?1??12??0?2??122?52??v?其合速度为：
V(0,1)170?13??1??u?v???????（m/s）。
???????2222③将x?1、y?1代入，得到(1,1)点的速度为：
u??1?1??m2??1?2??2?m1?1?m2?2?20?1?40?14， m1?2??1?1?2?122??1?2?2?1252?22?52?22??m11m211201408； ?????????22222??1?1??12??1?2??152?22??v?其合速度为：
V(1,1)260?14??8??u2?v2????????（m/s）。
???????22（2）设(0,0)、(0,1)和(1,1)点的压力分别为p0、p1和p2，且由题意知p0?0，则由伯努利方程：
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