②速度：u???????y； ?x，v???x?y?????v?ui?vj?xi?yj；
③加速度：
?u?u?v?x?1?y?0?x?x?y
?v?vay?u?v?x?0?y???1??y?x?yax?u?????a?axi?ayj?xi?yj；
④求速度势函数：
由于平均旋转角速度?z?1??v?u?1?????0?0??0，流场为无旋流场，势函数??2??x?y?2?(x,y)存在：
?x,y??x,0??x,y??(x,y)??0,0??udx?vdy????0,0xdx??x,0??ydy?12x?y2； 2??⑤等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。 （3）??xy
①流动图形：流线方程为x/y?C，流线和流动方向如图中实线所示； ②速度：u???1??x??， ??2，v???xy?yy???x?1?v?ui?vj??2i?j；
yy③加速度：
?u?ux?v??4?x?yy
?v?v1ay?u?v??3?x?yyax?u???x?1?a?axi?ayj??4i?3j；
yy - 16 -
④求速度势函数：
由于?z?1??v?u?1??????0，流场为有旋流场，势函数?(x,y)不存在。 3??2??x?y?y（4）??x2?y2
①流动图形：流线方程为x2?y2?C，流线和流动方向如图中实线所示； ②速度：u???????2x， ?2y，v???x?y?????v?ui?vj?2yi?2xj。
③加速度：
?u?u?v??4x?x?y
?v?vay?u?v??4y?x?yax?u?????a?axi?ayj??4xi?4yj；
④求速度势函数：
?z???????2?0，为有旋流场，势函数?(x,y)不存在。 2??x?y??3-6 已知平面不可压缩流体的速度分布为（1）u?y，v??x；（2）u?x?y，v?x?y；（3）u?x?y?x，v???2xy?y?。判断是否存在势函数?和流函数?，若存在，则
221??v?u?求之。
答：（1）u?y，v??x ①求速度势函数：
?z???????1?1???1?0，为有旋流动，势函数?(x,y)不存在。 ??2??x?y?2②求流函数：
由于
1??v?u?1?u?v??0?0?0，满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)存在： ?x?y - 17 -
?x,y??x,0??x,y??(x,y)??0,0???vdx?udy????0,0xdx??x,0??ydy?12x?y2。 2??（2）u?x?y，v?x?y ①求速度势函数：
?z??????2?1?1??1?0，为有旋流动，势函数?(x,y)不存在。 2??x?y??②求流函数：
由于
1??v?u?1?u?v不满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)不存在。 ??1?1?2?0，
?x?y（3）u?x2?y2?x，v???2xy?y? ①求速度势函数：
?z??????2??2y???2y???0，为无旋流动，势函数?(x,y)存在： 2??x?y???x,y??x,0?0,01??v?u?1?(x,y)???0,0??udx?vdy??x???2?xdx???x,y??x,0?122????2xy?ydy?x?y?2
112122?x?xy?y322x②求流函数：
由于存在：
?x,y??x,0??x,y??u?v???2x?1???2x?1??0，满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)?x?y?(x,y)??0,0???vdx?udy????0,02xydx??x,0???x21?y2?ydy?2x2y?xy?y3。
3?3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为u?Ax，v??Ay，求流体质点的轨迹。 答：由轨迹方程
dxdy??dt，并将u?Ax和v??Ay代入得到： uvdx?Axdt
dy??aydt或者写成：
- 18 -
dx?Adtx
dy??Adty两端同时积分，得到：
lnx?At?C1lny??At?C2，即
x?C1eAty?C2e?At
3-8 已知流场的速度分布为u?x?t，v??y?t，求t?0时通过??1, 1, 1?点的流线。 答：将速度分布函数代入连续方程：
?u?v?w???0 ?x?y?z得到：
?w?0 ?z因此可知，速度分布与z坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到：
?x,y??x,0?0,0?(x,y)??vdx?udy???y?t?dx???x?t?dy??y?t?x??x?t?y。 ???????0,0x,0?x,y?由于流函数为常数时??C表示流线，因此流线方程为：
?y?t?x??x?t?y?C。
将将条件：当t?0，x??1、y?1代入上式，得C??2；因此该瞬时过??1, 1, 1?的流线方程为：
xy?1?0。
23-9已知平面不可压缩流体的速度分布为u?xt，v??2xyt，求t?1时过??2, 1?点的流
线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。 答：（1）求流线方程：
由于
?u?v??2xt?2xt?0，流函数?(x,y,t)存在，且为： ?x?y?x,y??x,0?0,0?x,y?22?(x,y,t)??vdx?udy??0?dx??xtdy?x???????0,0x,0yt；
- 19 -
则流线方程为：
x2yt?C；
将条件：当t?1时，x??2、y?1代入，得C?4；则该瞬时过将(?2, 1)点的流线方程为：
x2y?4。
（2）求加速度：
?u?u?u?u?v?x2?x2t?2xt???2xyt??0?x21?2xt2?t?x?y
?v?v?vay??u?v??2xy?x2t???2yt????2xyt????2xt???2xy?2x2yt2?t?x?yax???将条件：t?1时，x??2、y?1代入，得到该瞬时过将(?2, 1)点的流体质点的加速度为：
ax??12ay?12
（3）轨迹方程：
x??24, y?t。 2t2223-10 设不可压缩流体的速度分布为（1）u?ax?by?cz,v??dxy?eyz?fzx;
?y2z2??x2z2?（2）u?ln??b2?c2??,v?sin??a2?c2?? 。其中a、b、c、d、e、f为常数，试求第三个
????速度分布w。
答：（1）将速度分布代入连续方程：
?u?v?w???0，得到： ?x?y?z?w?ez??d?2a?x， ?z两端同时积分得到：
1w?x,y,z??ez2??d?2a?xz?C1?x,y?。
2（2）将速度分布代入连续方程：由于：
?u?v?w???0， ?x?y?z - 20 -