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六校教研协作体2013届高二联考理科数学试卷
命题人：桂城中学 雷 波
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟． 2012年5月
一、选择题 本大题共8小题，每小题5分，共50分．
1．i为虚数单位，则复数i?(1?i)的虚部为（ ）
（A）i （B）?i （C）1 （D）?1
3x2y22．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，则此双曲线的离心率为（ ）
4ab （A）
4557 （B） （C） （D）
33443．已知p:x?2，q:0?x?2，则p是q的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 4．下列命题中正确的是 （ ）
（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面
325．己知函数f(x)?ax?bx?c，其导数f?(x)的图象如图所示，
y 则函数f(x)的极小值是（ ）
（A）a?b?c （B）8a?4b?c （C）3a?2b
（D）c
O 1 第5题图 2 x 6．已知圆C与直线x?y?0和x?y?4?0都相切，圆心在直线x?y?0，则圆C的方程为（ ）
2 （A）(x?1)??y?1??2
2 （B）(x?1)?(y?1)?2 （D）(x?1)?(y?1)?2
2222 （C）(x?1)?(y?1)?2
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7．从4台甲型和5台乙型手机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型手机各一台，则不同的取法有（ ） （A）140种
（B）120种 （C）70种
（D）210种
8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整
1（n?2），每 n111111个数是它下一行左右相邻两数的和，如??，??，
122236111??，?，则第7行第4个数（从左往右数）为（ ） 341211（A） （B）
14010511（C） （D）
4260数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为
二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．
9．若复数z1?1?2i，z2?i，则z1?z2＝ ． 10．若命题p:?x?R，2x?1?0，则?p为 ． 11．(x?1225)的二项展开式中x2的系数是 ．（用数字作答） xxy12．
?(e0?2x)dx等于 ．
OAFBx13．已知?FAB，点F的坐标为(1,0)，点A、B分别在图中抛物 线y?4x及圆(x?1)?y?4的实线部分上运动，且AB总是平 行于x轴，那么?FAB的周长的取值范围为 ．
?222第13题 ????1131514．无限循环小数可以化为有理数，如0.1?，0.13?，0.015?，?.
999999请你归纳出0.017? （表示成最简分数
??m,n,m?N?)． n理科数学 第2页 共11页
三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
15．（本题满分12）已知函数f(x)?ax2?blnx在x?1处有极值 （Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间．
16．（本题满分12）如图，已知曲线C1:y?x2?1与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，圆C2经过A、B、C三点． （Ⅰ）求圆C2的方程；
（Ⅱ）过点P(0,m)(m??1)的直线l1与圆C2相切， 试探讨l1与C1的位置关系．
?17．（本题满分14）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?1，AC?AA 1?3，?ABC?60．
1． 2（Ⅰ）证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A?AC1?B的余弦值．
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18．（本题满分14）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x?6），年销量为u万件，且
u??k(x?212585)?，k为常数．已知售价为10元时，年销量为28万件． 48（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）列出年销售利润y关于x的函数关系式，试确定售价为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
x2y2319．（本题满分14）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(0,1)，且离心率为．
ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A,B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,BP分别交直线
l:x?22于E,F两点．
证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点．
20．（本题满分14）已知函数f?x???13a2x?x?2x?a?R?． 32（Ⅰ）当a?3时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x??1,???都有f?(x)?2(a?1)成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若过点?0,??可作函数y?f?x?图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
??1?3?理科数学 第4页 共11页
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六校教研协作体2013届高二联考理科数学试卷
参考答案
一、选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．
?x?R，40 12．2x?1?0 11．9．2 10．(4,6) 14．e 13．
217 990三、解答题 本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
15．解析：（Ⅰ）∵f?(x)?2ax?b1，函数在x?1处有极值，------------------------2分 x21?f?(1)?0?2a?b?0?a????∴?， -----------4分 解得?2 ． ----------------5分 1，即?1f(1)?a?????2?2?b??1（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?12x?lnx，x?0， ------------------------7分 21(x?1)(x?1)∴f?(x)?x??， ------------------------8分
xx由f?(x)?0得，x?1；由f?(x)?0得，0?x?1； ------------------------10分 ∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增． ------------------------12分
，0)、C(0,?1),则OA?OB?OC， 16．解析：（Ⅰ）由题可得A(?1,0)、B(1因此圆C2为以原点为圆心，1为半径的圆
且圆C2的方程为x?y?1. -----------------------4分
（Ⅱ）依题意,直线l1斜率存在，可设其直线方程为y?kx?m， -----------------------5分
因为直线l1与圆C2相切，所以22mk2?1?1，即k2?m2?1， -----------------------7分
?y?kx?m2联立l1与C1的方程?，可得x?kx?m?1?0， -----------------------9分 2?y?x?122因此??k?4m?4?m?4m?3
理科数学 第5页 共11页