等式 2定义的空间矢量可以使用两相坐标理论表示。空间矢量的实部等价表示瞬态直轴定子电流分量isα ， 而虚部等价表示瞬态交轴定子电流分量isβ ，因此建立在定子上的两相静止参考坐标系的定子电流空间矢量可以表示为：
iisα+jisβ=s等式 3
β phase- b i s β
图 4 定子电流空间矢量与投影
在三相对称电机里，静止坐标系的交直轴定子电流分量是虚拟的两相电流分量，可以用如下三相
定子电流表示：
??????????=????????????????????????
????等式 4
??????=??
√??(?????????) ??????
等式 5
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这里的k=2/3 是基于磁势不变的变换常数，简化后方程为：
??????=??????
等式 6
??????=
√????等式 7
(?????????????)
其它的电机物理量的空间矢量（电压、磁链等）都可以用如上定子电流空间矢量的方法表示。
2.2.2 三相交流感应电机数学模型
在对三相交流感应电机数学模型分析之前，我们假设电机气隙均匀，绕组产生的气隙磁场按正弦规律分布. 由于三相电压方程中含有大量的瞬态变量比较麻烦，所以使用静止两相坐标系理论（克拉克变换）重构电机瞬态方程会更简单实用。那么三相交流感应电机在基于α, β 定子静止坐标系表示的定转子电压动态方程为：
??????=??????????+
等式 8
???? ????????
??????=??????????+
等式 9
????????????
??=??=??????????+??????+????????
????等式 10
???? ????????
??=??=??????????+???????????????
????等式 11
定子和转子磁链方程用定转子空间电流矢量表示方程为：
??????=??????????+??????????
等式 12
??????=??????????+??????????
等式 13
??????=??????????+??????????
等式 14
12
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??????=??????????+??????????
等式 15
电磁转矩的空间矢量方程为：
??????=???? ???????????????????????????
??等式 16
相关符号术语含义请参见表 2。
除了基于定子静止坐标系，电机电压矢量方程还可以基于一种更通用的旋转坐标系来表示，其旋转速度为 g。如果基于旋转坐标系，直轴交轴分量 x, y 以瞬时速度g=dθg/dt旋转，如图 5所示，这里的角度θg 就是定子静止坐标系α轴分量与通用坐标系 x轴分量的夹角，等式 17定义了旋转坐标系下定子电流空间矢量方程：
isg=ise?jΘg=isx+jisy
等式 17
y β xg
图 5 旋转坐标的应用
同样，定子电压和磁链空间矢量也可以用通用坐标系表示。
同样，转子电压，电流，磁链空间矢量也可以用类似的分析方法。定位于转子的坐标系实轴与定
子坐标系直轴夹角为θr。我们可以看到，转子坐标系的实轴与通用坐标系的实轴x的夹角为θg-θr，所以在通用坐标系中，转子电流空间矢量可以表示为：
irg=ire?jΘg?θr()=irx+jiry
等式 18
这里的????? 是在转子参考坐标系里的转子电流空间矢量。
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同样，转子电压和磁链空间矢量也可以用通用坐标系表示。
通用坐标系电机电压方程可以利用介绍过的坐标变换从静止坐标系旋转变换到通用坐标系来推导。矢量控制经常使用三相交流感应电机模型。矢量控制的目的就是使用类似直流电机的控制方案实现高性能的交流电机动态控制。为实现这个目标，可以把参考坐标系定位于定子磁链空间矢量，转子磁链空间矢量，或者气隙磁链空间矢量。最常见的就是定向在转子磁链空间矢量，其直轴为d，交轴为q。
经过dq坐标变换，电机数学模型可以表示如下：
??????
??=??????????+?????????????????
????等式 19
??????=??????????+??????=??=??????????+??????
等式 20
等式 21
??=??=??????????+??????+(???????)??????
????等式 22
????+(????+??)?????? ????????
????+?????????? ????????
??????=??????????+??????????
等式 23
??????=??????????+??????????
等式 24
??????=??????????+??????????
等式 25
??????=??????????+??????????
等式 26
??????=???? ???????????????????????????
??等式 27
图 6标示了定子电压矢量，定子电流矢量和定转子及气隙磁链在dq轴参考坐标系下的分布。其中d轴定向在转子磁链矢量方向。
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图 6 三相交流感应电机矢量控制矢量图
交流感应电机在稳态的模型可以用稳态等效电路表示，如图 7所示。
图 7 三相交流感应电机等效电路图
2.3 三相交流感应电机的矢量控制
2.3.1 矢量控制基本原理
高性能的电机控制表现为整个速度范围运行平稳，零速下全转矩控制，和快速的加减速特性。三相交流电机一般使用矢量控制来实现上述目标。矢量控制技术又称磁场定向控制（FOC）。FOC最基本的思想就是将定子电流解耦成一个控制磁场的电流分量和一个控制转矩的电流分量。经过解耦后，两个电流分量独立受控，互不干扰。这时交流电机的控制器就和他励直流电机控制器一样简单。
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