【1.13】eiim?和cosm?对算符d?是否为本征函数？若是，求出本征值。 eim?idd解：d?所以，e而d?idim??iedim?，im??meiim?
是算符d?的本征函数，本征值为?m。
cosm??i??sinm???m??imsinm??ccosm?id所以cosm?不是算符d?的本征函数。
【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。
证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：
0?x?1 n=1，2，3，??
令n和n’表示不同的量子数，积分：
lnn'?n?x??2lsinn?xll???x???x?d???002ldxsinn?xl?2lsinn?xl'dx?2ll?sin0n?xl?sinn?xl'??n?n'???n?n'???xsinx??sin2ll????''l??n?n???n?n???2??2??ll??0??n?n'???n?n'???xsinx??sinll????''??n?n???n?n???????0ll?n?n???n?n??
n和n皆为正整数，因而?n?n?和?n?n?皆为正整数，所以积分：
'''''?sin?n?n??'?sin?n?n??'l???x???x?d?nn'?00
?x?x根据定义，n??和n'??互相正交。
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
n?xsinll n?1,2,?3? ?
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标?0?x?l?，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
?n?x??2值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： ?ψ(x)?-Hnh22d22228πmdxhh8?m22(?22ln?l2sinnπxln?l)?-sinn?xlh22d8πmdxn?xl?)(2nπllcosnπxl)
????2l??(?2l nh8ml222n?l28?m?sin?n(x)
即：
E?nh2228ml
??n(x)?c?n(x),x?（2）由于x无本征值，只能求粒子坐标的平均值：
?x????x??x?n?x?dx???00??l*nl2l?n?x??x?sin?0?ll???*2lsin?2l?l022?n?x?xsin??dx?l?l?2l0?l0?1?cos2n?x??l?xdx??2????
??n?x??dxl??
1?x??l?2l?2
?2n?x?ll?xsin???02n??l?2n?l?l0sin2n?xl?dx??
（3）由于px??10?x?n?x??c?n?x?,p?xp*nxn无本征值。按下式计算px的平均值:
???x?dx???x?p
1
n?x?ihd?2n?x?sindx???0ll?2?dx?ll
nihln?xn?x??2?sincosdx?00lll
2sin【1.16】求一维势箱中粒子在?1和?2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。
解：（a）
?1?x??2l2lsin?xl 2?xl?1?x??222lsin2l2?xl
2
?2?x??sin22
?2?x??sin2?xl
由上述表达式计算
?21?x?和??x?，并列表如下：
x/l 2?1?1?x?/l2?10 0
1/8 0.293 1.000
5/8
2/3 1.500 1.500
21/4 1.000 2.000
3/4 1.000 2.000
1/3 1.500 1.500
7/8
3/8 1.726 1.000
1/2 2.000 0 1 0 0
?2?x?/l 0
x/l
?1?x?/l 2?1?2?x?/l
2?11.726 1.000
0.293 1.000
根据表中所列数据作?n?x??x图示于图1.16中。
2.02.0???1 (x)/l1.51.00.50.00.0 ???x?/l -11.51.00.50.00.0 2?0.20.40.20.40.6x / l0.81.00.6x / l0.81.0 图1.16
（b）粒子在?1状态时，出现在0.49l和0.51l间的概率为：
0.51l
P1??0.49l?1?x?dx2
0.51l?????0.49l?0.51l2lsin?x?2dx??l?
??0.49l2lsin2?xldx0.51l2?xl2?x????sinl?24?l??0.49l
12?x??x???sinl??l2??0.49l?0.02??0.039912?0.51l
?sin1.02??sin0.98??
粒子在ψ2状态时，出现在0.49l和0.51l见的概率为：
0.5l1P2?0.51l?0.49l?2?x?dx2?????0.49l?0.51l22?x?sindx??ll?22??0.49l2lsin2?xldx0.51l2?xl4?x????sinl?28?l??0.49l14?x??x???sinl??l4??0.49l14??0.51l??0.49l14??0.49l??0.51l???sin??sin???4?l4?l?l??l?0.51l ?0.0001（c）计算结果与图形符合。
【1.17】链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向160nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。
解：该分子共有4对?电子，形成?n离域?键。当分子处于基态时，8个?电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，?电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE＝E5－E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得：
?E?hc228 因此：
?1??2n?1?h8ml
??2n?1?h??2l???8mc??1??2?4?1??6.626?10J?s?460?10m?2???318?1?8?9.109?10kg?2.988?10m?s???34?9 ?1120pm计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。
【1.18】一个粒子处在a?b?c的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h2/(8ma2)为单位]，计算每个能级的简并度。
解：质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为： Enx,ny,nz?h228ma?n2x?ny?nz22?
12119E222E113=E131=E311E122=E212=E221
E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12
【1.19】若在下一离子中运动的?电子可用一维势箱近似表示其运动特征：
222估计这一势箱的长度l?1.3nm，根据能级公式En?nh/8ml估算?电子跃迁时所吸收
E111?3
E112?E121?E211?6
的光的波长，并与实验值510.0nm比较。
HHH3CCNCH3CHCCHHCCHHCNCH3CH3
解：该离子共有10个?电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个
?型分子轨道上。离子受到光的照射，?电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最
低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：
?E?hc?11h?E6?E5?26h8ml222?5h8ml222?11h228ml
??8mcl?8?9.1095?10?31kg?2.9979?10m?s11?6.6262?10?348?1??1.3?10?9m?2J?s?506.6nm实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。
【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：
En?nh22
式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中?6离域?键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。
解：由量子数n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个?电子填入n=0，1，?1等3个轨道，如图1.20所示：
22,3? ,??8?mR n?0,?1,?2?64?E10??????