1?1?????a0?1?1?????a0?3/2?a0a0e?3/22a0a0?ee?1?2?e?2.71828e而?21s
在在r=a0和r=2a0处的比值为：
2
e≈7.38906
【2.6】计算氢原子的1s电子出现在r?100pm的球形界面内的概率。
nax?xennaxxedx????aa??xn?1?axedx?c??
解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的概率为：
100pm?2?P?????000100pm?2?21sd?
?2ra0? ?????a000130ersin?drd?d??21100pm3?a0?0re2?2ra0?2?dr?sin?d?0?d?0
4a0?100pm?02ra0
r??2?a0r2a02ra03??4aa200redr????e????a0?224?????0?100pm2r100pm
?e
?0.72 8那么，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面之外的概率为1-0.728=0.272。
P(r)?????1srsin?drd?d?00r【2.7】计算氢原子的积分：，作出P(r)?r图，求P(r)=0.1
时的r值，说明在该r值以内电子出现的概率是90%。
2????2r22r??1???2?aa00??02???22P?r??解：
???0???1srsin?drd?d?22200r2???
2?
?1?r?2e?rsin?drd?d???????0r?2?2r???0d??sin?d?0??r1e?2rrdr2
?
?4?rer?12?dr?4??re?22r?r2??rer?r2?dr??
?12??4??re?2
?12??4??re?2
?121re??2r1?2r1?e?2r?dr??
2r??re?e?24?r
?2r?2r?
根据此式列出P(r)-r数据表： r/a0 0 0.5 1.0 P(r)
1.000
0.920
?e?2r?2r2?2r?1? 1.5 0.423
2.0 0.238
2.5 0.125
3.0 0.062
3.5 0.030
4.0 0.014
0.677
根据表中数据作出P(r)-r图示于图2.7中： 由图可见：r?2.7a0时，P?r??0.1
a0时，P?r??0.1 r?2.7a0时，P?r??0.1 r?2.7即在r=2.7a0的球面之外，电子出现的概率是10%，而在r=2.7a0的球面以内，电子出现的概率是90%，即：
2??2.7a0???000?1srsin?drd?d??0.90
1.00.8 22P(r)0.60.40.20.0012345 r/a0图2.7 P(r)-r图
【2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为
?1s???a0?3?1/2exp??r/a0?
(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； (b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。
解：（a）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton算符作用于ψ1s时，若所得结果等于一常数乘以此ψ1s,则该常数即氢原子的基态能量E1s。氢原子的Hamiltton算符为：
???Hh222
h8?m??2e4??0r
2?与θ，ф无关： 由于ψ1s的角度部分是常数，因而H???H1??2??er???228?mr?r??r?4??0r
2
?作用于ψ，有： 将H1s
22??h1??2??e?H?1s?????1s?r??228?mr?r?r4??r??0?? 22h1??2??e??r???1s??1s228?mr?r??r?4??0r
22?1??e2???2r?1s?r?1s???1s22?28?mr??r?r?4??0r
h2??h22128?mr??2r??12a0e?52?ar0?r?2?12a?720e?ar0??4??r?0e21s
2?h2?r?2a0??e??????1s228?mra04??0r?? 22??he????1s222?8?ma4??a000?? （r=a0）
所以
E1?h222
8?ma0?e224??0a0=?
-18
=-2.18×10J 也可用
*?E???1sH?1sd?
进行计算，所得结果与上法结果相同。
注意：此式中d??4?rdr。
将角动量平方算符作用于氢原子的ψ1s，有：
2??1??h1??1?????2a23?M?1s????a0?e0???sin???22?????sin?????2???sin????
=0ψ1s 所以
2
M=0 |M|=0
2r2?不含r项，而ψ不含θ和ф，角动量平方当然为0，角动此结果是显而易见的：M1s
2量也就为0。
通常，在计算原子轨道能等物理量时，不必一定按上述作法、只需将量子数等参数代人简单计算公式，如：
En??2.18?10M?l?l?1??18*2?ZnJ
h2?
?1即可。
（b）对氢原子，V?r，故：
T??12V
E1s?T?V??12V?V?12V
V?2E1s?2?(?13.6eV)??27.2eV
T??12V?(?12)?(?27.2eV)?13.6eV此即氢原子的零点能。
?2p1z
【2.9】已知氢原子的(a)原子轨道能E=?
?r??r????exp???3a42?a0?0??a0?cos?，试回答下列问题：
(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=? (c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？
(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。 解：（a）原子的轨道能：
E??2.18?10?18J?122??5.45?10?19J（b）轨道角动量：
M?l(l?1)h2??2h2?
轨道磁矩：
（c）轨道角动量和z轴的夹角：
h0?Mz2??0cos???hM2??2?， ??90
（d）电子离核的平均距离的表达式为：
??2pd?r???2pzrzz000
??0（e）令2p，得：
z??l?l?1??e*
??????2??2pr?rsin?drd?d?22r=0，r=∞，θ=900
?节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故2p的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点
z也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y?（f）几率密度为：
3/4?cos??0，求得θ=900。
???2p2z
?r??ar2??ecos?3?32?a0?a0?
102??由式可见，若r相同，则当θ=0或θ=180时ρ最大（亦可令??0
0
??sin??0，θ=00或θ
=1800），以?0表示，即：
?r??ar???0??(r,??0,180)??e3?32?a0?a0?
102将?0对r微分并使之为0，有：
2r????d?0d1ra0???e3?drdr?32?a0?a0??
????
?132?a05?ra0re 又因：
?r?2????0a0??
解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去）
d?02 dr2|r?2a0?00
20
z?所以，当θ=0或θ=180，r=2a0时，2p有极大值。此极大值为：
?2?2a0??2aa1e?m???e3?332?a0?a0?8?a0
?3 ?36.4nm
002D2pz（g）
根据此式列出D-r数据表： r/a0 D/
a0?15?r2???112a0222?rR?r?re?26?a??0????r?1a4??re05?24a0??
20
0 7.0
1.0 0.015 8.0
2.0 0.090 9.0
3.0 0.169 10.0 0.019
4.0 0.195 11.0 1.02×10-2
5.0 0.175 12.0 5.3×10-3
6.0 0.134
r/a0
a0?1D/ 0.091 0.057 0.034
按表中数据作出D-r图如下：