第七章 线性变换
§7.1 线性映射
1．令?=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射?哪些是R3到自身的线性映射？ （1）?(?) =?+
? ，?是R3的一个固定向量．
（2）?(?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3) （3）?(?) =（x12 ，x22 ，x32）． （4）?(?) =（cosx1，sinx2，0）．
2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射?是线性映射的充要条件是：对于任意??V，都有?(?) = a?，这里a是F中一个定数．
3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A?Mn (F).对任意X?Mn (F)，定义
?(X) = AX–XA．
(i) (ii)
证明：?是Mn (F)是自身的线性映射。 证明：对于任意X，Y?Mn (F)，
?(XY) = ?(X)Y+X?(Y) ．
4．令F4表示数域F上四元列空间，取
?1?15?1???11?23???3?181????13?97?? A=?对于??F4，令?(?) = A?．求线性映射?的核和像的维数．
5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令?是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：
?1，?，?s，?s+1，?，?n，使得?1，?，?s，是Ker(?)的一个基．证明：
（i）?(?s+1)，?，?(?n)组成Im(?)的一个基；
（ii）dim Ker(?) + dim Im(?) = n.。 6．设?是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V =
W1?W2．证明：?有逆映射的充要条件是V = §7.2 线性变换的运算
?(W1)??(W1) ．
1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义
?：f (x) ? f’(x) ，
?：f (x) ? xf (x) ，
这里f’(x)表示f(x)的导数．证明,
?,?都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有
?n?– ??n = n?n-1
3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换?来说，下列三个条件是等价的：
（i）?是满射； (ii)Ker(?) = {0}; (iii) 当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？
4．设??非奇异．
k-1
?L (V)，??V，并且?，?(?)，?，?(?)都不等于零，但?k(?) = 0．证明：
?，?(?)，?，?k-1(?)
线性无关．
5．??L (V) ．证明
(1) Im(?)?Ker(?)当且仅当 ?2 = ?；
(2) Ker(?)?Ker(?2)?Ker(?3)??； (3) Im(?)?Im(?2)?Im(?3)??．
6．设Fn = { (x1，x2 ，?，xn ) | xi?F }是数域F上n 维行空间．定义
?(x1，x2 ，?，xn ) = (0，x1 ，?，xn-1 ) ．
(i) 证明：?是Fn的一个线性变换，且 (ii) 求Ker(?)和Im(?) 的维数． §7.3 线性变换和矩阵
?n = ?；
1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，?：f (x) 关于以下两个基的矩阵：
(1) 1，x ，x2 ，?，xn，
? f’(x) ，求
(x?c)22!(2) 1，x–c，(x?c)nn!，?，
，c?F．
2．设F上三维向量空间的线性变换?关于基 {?1 ，?2，?3}的矩阵是
?15?115????20?158??8?76???
求?关于基
?1 = 22 = 33 =
?1 +3?2 +?3，
?? 的矩阵．
?1 +4?2 +?3，
?1 +2?2 +2?3，
设?= 2?1 +?2–?3．求?(?)关于基?1，?2，?3的坐标． 3．设{?1，?2，?，?n}是n维向量空间V的一个基．
?j =
?a?iji?1ni?，j=
?b?iji?1ni， j = 1，2，?，n，
并且?1 ，?2，?，?n线性无关．又设?是V的一个线性变换，使得?(?j) = n，求?关于基?1，?2，?，?n的矩阵．
4．设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似．
?j，j = 1，2，?，
5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．
6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换?是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要?关于V的任意基的矩阵都相等．
7．令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A?Mn (F) ．对任意X?Mn (F)，定义
?(X) = AX–XA．
由7.1习题3知?是Mn (F)的一个线性变换，设
?a1?????0A =?a20??????an??
i,j?n}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，
是一个对角形矩阵．证明，?关于Mn (F)的标准基{Eij |1?它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1?i,j?n).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]
nr?2，8．设?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{?1 ，?，?n}和{?这里0??1，?，?2，
???使得对于V的任意向量来说，如果=i?1n}，
1
xi?i???，则() =i?1xi?i，
r?n是一个定数[提示：利用7.1，习题5选取基?，?2，?，?n ．]
§7.4 不变子空间
1．设?是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是?的一个不变子空间，证明，如果?有逆变换，那么W也在?-1
之下不变．
2．设?,?是向量空间V的线性变换，且?????．证明Im(?)和Ker(?)都在?之下不变．
3．?是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件?2 =?．证明： (i) Ker(?) = {???(?)|??V}；
(ii)V = Ker(?)?Im(?)；
(iii)如果?是V的一个线性变换，那么Ker(?)和Im(?)都在?之下不变的充要条件是?????．
4．设?是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V的每一个子空间都在?之下不变．
5．令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合．V的一个子空间W如果在S中每一线性
变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间．S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而?是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明?或者是零变换，或者是可逆变换．[提示：令W = Ker?.证明W是要的一个不变子空间．] §7.5 本征值和本征向量
1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：
(i)
?3?20?????13?1???57?1???； (ii) ?4?57????1?49???405???；(iii) 66??3??20??0??3?12?6???．
2．证明：对角形矩阵
?a1?????0?3．设
a20??b10????b2?????????????bn?an?与?0?
相似必要且只要b1，b2，?，bn是a1，a2，?，an的一个排列．
A =
是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明：
?ab???cd????
(i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得
??0????1??T-1AT = ?0??．
这里??R且??0，1，-1．
(ii) 如果| trA | = 2且A??I，那么存在可逆实矩阵T，使得
T-1AT =
?11???11???01????0?1????或??.．
?R，使得
(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及??cos????sin?-1
TAT = ???sin???cos???．
?，??=1.将?写成三角形式．令?[提示] 在(iii)，A有非实共轭复特征根?，的一个特征向量，计算A(??C2是A的属于???)和A(i(???))．
??4．设a，b，c?C．令
?bca??cab??abc????????cab??abc??bca??abc??bca??cab??????． A=，B=，C=?
(i) 证明，A，B，C彼此相似；
(ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零． 5．设A是复数域C上一个n阶矩阵． (i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得
??1??0????0-1
TAT =??b1n??b22?b2n??????bn2?bnn??．
*???*???????n?? ?b12(ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵
??1*??0?2?????00?相似，这里主对角线以下的元素都是零．
6．设A是复数域C上一个n阶矩阵，?1,?2,?,?n是A的全部特征根（重根按重数计算）． (i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f (?1),根．
(ii) 如果A可逆，那么?i7．令
?11?1?1?0,i?1,2,?,n，并且?1,??2,?3,??n是A-1的全部特征根
f(?2),?f(?n)是f(A)的全部特征
A =
是一个n阶矩阵。
23n?1A,A,?,A(i) 计算．
?0100?0????0010?0????????????0000?1??1000?0???
(ii) 求A的全部特征根．
8．a1,a2,?an,是任意复数，行列式