a1anan?1?D =
叫做一个循环行列式，证明：
D =
这里
a2a1ana3a3?ana2?an?1a1?an?2?a1
???a4?a2f(?1)f(?2)?f(?n)，
f(x)?a1?a2x???anxn?1，而?1,?2,??n是全部n次单位根．[提示：利用6.7两题的
结果．]
9．设A，B是复数域上n阶矩阵．证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同．[提示：参看5.3习题2．] §7.6 可以对角化的矩阵
1．检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化．如果可以对角化，求出过渡矩阵T．
2．设 求A10．
60??4??A???3?50???3?61???，
3．设?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．令?1,??t?F是?的两两不同的本征值，
V?i是属于本征值?i的本征子空间．证明，子空间的和W?V??是V的一个对合变换，证明:
(i)
1???V?t是直和，并在?之下不变．
4．数域F上n维向量空间V的一个线性变换?叫做一个对合变换，如果?2 =ι,ι,是单位变换，设
?的本征值只能是?1；
V?1，这里V1是?的属于本征值1的本征子空间，V?1是?的属于本征值 –1 的本征子
(ii) V = V1???V,则??空间．[提示：设
???(?)2????(?)2]
5．数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果
?1(I?A)(i)I + A 可逆，并且求．
A2?A,设A是一个幂等矩阵.证明：
(ii)秩A + 秩(I?A)?n. [提示：利用7.4，习题3 (ii)．]
6．数域F上n维向量空间V的一个线性变换?叫做幂零的，如果存在一个自然数m使?m = 0.证明：
?是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零；
(ii) 如果一个幂零变换?可以对角化，那么?一定是零变换．
(i)
7．设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而?是V的一个线性变
换，并且?与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么?一定是一个位似． [提示：令?是?的一个本征值，考虑?的属于?的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果．]
8．设?是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令?1,??t是?的全部本征值．证明，存在V的线性变换?1,?2,?,?t，使得
(i) (ii)
???1?1??2?2????t?t； ?1??2????t??,?是单位变换; ?i?j??,若i?j，?是零变换；
(iii)
2???i,i?1,2,?,t; i(iv)
(v)
?i(V)?V?,V?是?的属于本征值?i的本征子空间，i?1,2,?,t.
ii9．令V是复数域C上一个n维向量空间，?，?是V的线性变换，且??(i) 证明，?的每一本征子空间都在?之下不变； (ii)
???．
?与?在V中有一公共本征向量．