2008-2009学年第二学期复变函数复习卷（本科）参考答案
一、填空题
1、复数z?1?i的三角表示式=2(cos?4?isin?4?)；复指数表示式=2e4。
i2、复数z?1?6?3i的z=2；Argz?5??3?2k?；argz??3；z?1?3i。
?1??1?i?23、?；?i??1???1??1?i??10??i3i?3。 ?e??3i??x?3y?1?454、?1?2i?x??3?5i?y?1?3i??，求解方程组可得，x?。 ,y?2x?5y??31111?5、f?z???3z2?z?1?,则f????i??6；函数6、Lnz?1z(z?1)2的奇点z?0,z??i。
?3?i?ln2??(??6?3ii?2k?i；ln(ie)?1??2i。
7、?i?i?1?2?ie?2k?),e1??e2(1?3i)；
8、3?8?2(cos??2k?3?isin??2k?3)；k?0,1,2。
1??4?2k?4?isin??4?2k?4),k?0,1,2,3；
方程z?1?i?0的根：z?e?1441?i?(2)4(cos?9、 sini??e2i；cos?2i?12?2?(e?e2)；
10 、
??z?1dzz?2z?42?0；
??z?1dzz?12?2?i。
11、设f(z)?1?coszz3，则z?0是（一级极点）；Res[1?coszz3,0]?12。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）f?z??x?iy ；
2222解：u?x,v?y,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?0,?v?y?2y，一阶偏导连续，
因此当ux?vy,uy??vx 时，即x?y时可导，在z平面处处不解析。f?(z)?ux?ivx?2x。 （2）f?z??zRez ；
1
解：f(z)?zRez?(x?yi)x?x2?xyi，于是u?x2,v?xy,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?y,?v?y?x，
当ux?vy,uy??vx 时，即x?0,y?0时可导，在z平面处处不解析。f?(z)?ux?ivx?2x?yi,f?(0)?0 （3）f?z??z?2z2?1。
解：由解析函数的四则运算法则可知，函数f(z)除z??i外处处可导，处处解析。
三、求下列积分
1、?1?i30?z?1?2dz?13(z?1)31?i10?3[(2?i)?1] 。 （被积函数解析，找出原函数）
2、?3?izz??izedz??3?i??izde?zez3?iz??i??3?i??iedz?zez3?i?i??i?ez3??i??4?i。
z3、
??sinz?e
z?1(z?3)2dz解：因为被积函数f(z)?sinz?ez(z?3)2有奇点z?3，但不在z?1内，f(z)在z?1内解析，
z所以
??sinz?e0
z?1(z?3)2dz?4、?Rezdz 其中积分曲线c：点i?点2?ic的直线段；
2解：?cRezdz??20tdt?t220?2，其中c:?t??x?y?10?t?2?z?z(t)?t?i。
25、
??5z?3z?23
z?2z?z?1?dz2解：用留数基本定理。
??5z?3z?2?2?iz2?3z?2,0]?Res[5z2?3z?2,1]?
z?2z?z?1?3dz?Res[521) 由于z?0一级极点，于是Res[5z2?3z?2,0]?lim5z?3z?2z?0z???2；
z?z?1?322）由于z?1三级极点，于是Res[5z2?3z?2,1]?135z?3z?22!lim[(z?0z?1)?z?z?1?3]???2。
2所以
??5z?3z?2es[5z2?3z?2,0]?Res[5z2?3z?2,1]??2?i[?2?2]?0。
z?2z?z?1?3dz?2?i?R另解：用复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。 2被积函数
5z?3z?2z?z?1?3在z?2内有奇点z?0,z?1；于是以z?0,1为圆心作两个适当大小的圆，
2
所以
5z?3z?22??z?25z?3z?2z?z?1?232dz???c1?z?1?z235z?3z?2dz?2??c2z?z?1?3dz
?2?i[5z?3z?2?z?1?3z?015z?3z?2?()??2!zz?1]?2?i[?2?2]?0。
16、
??zz?13ezdz
1解：由于z?0是本性奇点，于是zez?z3[1?131z?112!z2?113!z3?114!z4??]，所以c?1?14!；
所以
??z?1zezdz?2?ic?1?z23?i12。
7、
??z?re?z?2??z?1?dz
1）z?1，被积函数
ez2?z?2??z?1?ez有c内解析，所以
??z?rez2?z?2??z?1?dz?0。
2）1?z?2，被积函数
?z?2??z?1?ez2在c内只有一个奇点z?1，于是
??z?rez2?z?2??z?1?dz??z?2???z?12?z?r?ez2dz?2?i[ez?z?2?]?z?1?0。
3）z?2，被积函数
?z?2??z?1?在c内有二个奇点z?1,z??2，于是
z2ezedz???z?rez2?z?2??z?1?dz?z?2??2?i[?2?z?r?z?1?ez2?z?1???z?2?z?r?dz]
z?e]? ?2?i?[??z?2??z?1?[?z?1?]z??2??2ee?2?2?i?2??(2e?e)。 ??2?i???9?9?9?8、
??z?2tan?zdz
sin?zcos?z 由于tan?z?，故奇点：cos?z?0??z?k??1232?2?z?k?12k?0,?1,?2,?
而在z?2内，有奇点?,?，而且是一级极点，于是Res(tan?z,z0)?sin?z(cos?z)?z?z0??1?。
3
因此，
??z?2ztan?zdz?2?i[Res(tan?z,?12)?Res(tan?z,?32)]?2?i[4?(?1?)]??8i 。
zezzezz9、
??z?2ze2z?1dz???z?2z?1dz?z?1??z?2z?1?2?i[zez?1z?1z?1?zezz??1z?1]??i(e?e)。
?1四、级数展开
1、将f?z??12?z?1?12展开成z的幂级数；并求收敛域；
解：f?z???z?1?z?1z?2??(1z?1??nn)???[?(?1)z]??n?0?(?1)n?0n?1nzn?1，z?1。
2、求f?z??在点z0??1处的泰勒展开式；并求收敛域； z?2?3z?23z?23211?z2(?1)?2n?0解：f?z??z?1z?2??1??1???1?3?nn(z?1)， z?1?1。
3、将f?z??洛朗级数。
1?z?1??z?2?在（1）0?z?1?1，（2）1?z?1??（3）1?z?2??邻域内展开为
解：1）0?z?1?1，有
f?z??1?z?1??z?2??1(z?1)(z?1)?1?1??1z?11?(z?1)?1???(z?1)z?1n?01?n????(z?1)n?0n?1。
2）1?z?1??，有
1111(z?1)2f?z???z?1??z?2??(z?1)(z?1)?1???1?11z?1?1(z?1)2??(z?1)n?01?n??(z?1)n?01n?2。
3）1?z?2??，有
1111(z?2)2f?z???z?1??z?2??(z?2)(z?2)?1???1?11z?2?1(z?2)2??(?1)n?0n1(z?2)n???(z?2)n?0(?1)nn?2五、问是否存在这样的解析函数以v?yx?y22为虚部？若有，求满足f(2)?0的解析函数f(z)。
4
?2xy?v??x(x2?y2)222x?yy?解：由于v?2，而f(z)解析， 故C-R条件成立，即vy?ux?2， ,??22222(x?y)x?y?v?x?yy222?(x?y)?于是f?(z)?ux?ivx?x?y2222(x?y)2?i?2xy(x?y)222x?z,y?0????1zz22(z)122?1z2，对f?(z)积分，得f(z)??1z?c。
代入初始条件f(2)?0，得c?12，所以f(z)???。
六、求下列函数在孤立奇点处的留数
1、f(z)?1?ez42z；
解：z?0是孤立奇点，并且是三级极点。可以把它看成四级极点求留数更为方便些。
Res[f(z),0]?13!lim[z?z?041?ez42z]?????86??43；
或可以将函数在z?0的去心邻域内洛朗展开， f(z)?1?ez42z?1z4(1?1?11!?2z?12!?4z?213!?8z??)，于是c?1??383!??43。
2、f(z)?ln(1?z)z；
ln(1?z)z?1，所以z?0为可去奇点，故Res[f(z),0]?0。
解：由于limf(z)?limz?0z?03、f(z)?sin1z?1。
1z?1解：由于limf(z)?limsinz??z??不存在，所以z?1为本性奇点，于是
115f(z)?sin1z?1?1z?1?13!(z?1)?13?5!(z?1)???，所以Res[f(z),1]?c?1?1。
2008-2009学年第二学期积分变换（本科）复习卷参考答案
一、填空题 1、??????(t??6)cost dt?cos?6?32；??????(t??)t dt?t22t????。
22、F[?(t?2)]?e?2jw； F?1??1????(w)??u(t；) jw??
5