3、F[u(t)]?1jw???(w)；F?1[2]?2?(t)；
4、F[?]?2?2?(w)； L[?]??s；
5、设F[f(t)]?F(w)，则F[f(?t)]?F(?w)； 6、L[?(t)]?1；L[u(t)]?3s?921st；L[2]?2?(t)；
?17、L[sh3t]?t4；L[e]?1s?1；
8、L[t]?45!；L[t]?121s2；
9、L[sintcost]?10、L[
?1L[sin2t]?1s?42； L?1[2s?1s?32]?2cos3?33sin3t；
1s?42]?12sh2t。
二、求下列函数的付氏变换
?e??t,t?0(??0)，求F?1．设e?t????e???t???,F??e?t?1???,F??e??t???。
?0,t?0解：e(t)?1??jw2，于是
F??e???t????(jw)1??jw??w2??jw,F??e?t?1????ejw?1??jw,F??e??t????1??jw
?jt2． F?eu?t?1???u?t?1??????F?w?w?1?e?jw[1jw???(w)]w?w?1?e?j(w?1)[1j(w?1)???(w?1)]
3． F?sin?0t??12j[2??(w?w0)?2??(w?w0)]。
5?jw??5??13u3t?5?Fut??e(???(w))。 ?4．F?????????3jw????5．F??tu?2t????F??tu?t????jF???jtu?t????j[1jw???(w)]???1w2??j??(w)
?jw?jw6．F? 。 ????t?1????jwF????t?1????jweF????t????jwe?jwjw?jwjw7．F? ?t???t?1?eF[?t]?eF[?t]?e?e??????????? 6
8．F[e?3jt]?F[1]w?w?3?2??(w?3)
[F(w?w0)?F(w?w0)]
9．F?cos?0t?u(t)?? ?1[1122j(w?w0)???(w?w0)?1j(w?w0)???(w?w0)]。
???jw1??j?e(???(w))?
jw??10．F?t?u(t?1)??jF??jt?u(t?1)??j?F?u(t?1)??1jw1w2??e?jw??e?jw?(w)?e?jw??je?jw??(w)。
三、计算积分
1．???????t?sin?t????????dt?sint????3?3??t?03???。 ?sin???32??2．???????t??e?ete?3tt?????????sin?tdt?sin?t?????4??2??2??0t?2t?0t??4?sin3?4?22。
3．???0?2tdt??L[e?e]ds??(1s?12?1s?2)ds?lns?1s?2?0?ln2
4、???0?t?sin2tdt?L[tsin2t]s?3??(s?42)?s?3?4s(s?4)22s?3?12169。
四、求卷积
1、设f1?t????t,0?t?1?0,t?0，f2?t????t,0?t?2?0,t?0，求：f1?t??f2?t?。
解：f1?????,0???1??，f2?t??0,??0???t??,0?t???2??， 0,t???0?f1?t??f2?t???????f1(?)f2(t??)d?t?0?0,?23?t?t??,0?t?10?t?1?26 ??t11?t?2???,1?t?223?32?t?3??t?15t?18,2?t?3?6t?3?t?3??0,t?0?0,?t???(t??)d?,0??1????(t??)d?,0?1??(t??)d?,??t?2?0,??e?t,2、设f1?t????0,
?t,t?0,f2?t???，求：f1?t??f2?t?。
0,t?0t?0?t?07
?e??,??0?t??,解：f1?????,f2?t???????0?0,?0,t???0t???0；
f1?t??f2?t????????0,?f1(?)f2(t??)d???t??e(t??)d?,???0?0,??t?0?t?e?t?1,t?0t?0t?0。
五、求下列函数的拉氏变换
1、L[e3tsin5t]?L[sin5t]s?s?3?5(s?3)?252
2、L[tcos2t]??L[?tcos2t]??{L[cos2t]}???(222ss?42)??s?4(s?4)222
3、L[tu?t?1?]?L[(t?1?1)u(t?1)]?L[(t?1)u(t?1)]?2L[(t?1)u(t?1)]?L[u(t?1)] ?e?s2s3?2e?s1s2?e?s1s?1。
5s?23s?324、L[5e2t???t?2??sin1s3t?1]??e?2s??1s 。
?t??5、L?1?te???L[te]??t1s?1s2s?s?1?1s?1(s?1)2。
6、L[(t?1)2et]?L[(t?1)2]s?s?1?L[t?2t?1]2s?s?1?(2s3?2s2?1s)s?s?1?2(s?1)3?2(s?1)2?1s?1)
7、L??sint????t?1?costt??0L[sint]ds???021s?1?0ds?arctans?0??2 。
8、L[]???0L[1?cost]ds??(1s?ss?12)ds?lnss?12?0??lnss?12 。
t1139、L??e?2tsin3tdt??L[e?2tsin3t]??(2)?0?s??ss?9s?s?2?1s(s?2)?9?32。
?s1???10、L?u(t?)??e4?
4?s??11、L?sin(t???????21s)??L[sintcos?costsin]?(2?2) 。 4?442s?1s?1?4s?????12、L?u(t?)sin(t?)??e44??L[sintu(t)]?e??4sL[sint]?e??4s21s?1。
8
?5,1?t?213、设f?t????2,2?t?4,试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示f?t?，并求L?f(t)?。
??1,t?4?5,1?t?2解：f?t????2,2?t?4?5[u(t?1)?u(t?2)]?2[u(t?2)?u(t?4)]?u(t?4)；
??1,t?4?s?2s?4sL[f(t)]?5L[u(t?1)?u(t?2)]?2L[u(t?2)?u(t?4)]?L[u(t?4)]?5es?3es?es。
六、求下列函数的拉氏逆变换
1、L?1?1?????L?1?1?1???e?t?e?2t。
??s?1??s?2????s?1??s?2??2、L?1?s?1??L?1?s?1??t?1s?t??s2?2s?5??(s?1)2?22??eL[s2?22]?ecos2t 。 ????73、L?11????e?tL?1?1???e?t?t ???s?1?8???s8??7! ??4、L?1?s?1?1?1?s?1???L?9s2?1??9???1[cost?3sint] ?1?s2?9?933?5、L?1?1???L?1[1?1]?sht?t ?s2(s2?1)??s2?1s2 6、L?1?e?s??s??f(t?1)u(t?1)f(?11L?1?e??s2?1? ，其中t)?L[]?sint，于是?s2?1?2??sin(t?1)u(t?1)?s?1?stst7、L?1??s?s??1?se??s?1??s?2?(s?3)??sest??s?2?(s?3)?s?1?(s?3)s??2?se?s?1?(s?2)s??3
??1t2e??2e?2t?33t2e?。
七、求解微分方程组
1、 y??y?u?t?,y?0??0
解：设L[y(t)]?Y(s)，L[y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s)，于是
L[y?]?L[y]?L[u?t?]?sY(s)?Y(s)?1?(s?1)Y(s)?1?Y(s)?1?1?1ss(s?1)ss?1s；
所以y(t)?L?1[Y(s)]?et?1。
9
。2、 y???2y??3y?e?t,y?0??0,y??0??1
22解： 设L[y(t)]?Y(s)， L[y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s),L[y??(t)]?sY(s)?sy(0)?y?(0)?sY(s)?1；
于是，L[y??]?2L[y?]?3L[y]?L[e?t]?s2Y(s)?1?2sY(s)?3y(S)?故，(s2?2s?3)Y(s)?1s?1s?2s?1s?2(s?1)(s?3)(s?1)1s?1；
?1??Y(s)?
所以 L?1[Y(s)]?L?1[s?2(s?1)(s?3)(s?1)(s?2)ests??1]
?L[14?1(s?3)(s?1)e?t?(s?2)ests??3(s?1)(s?1)?(s?2)ests?1(s?1)(s?3)]
???18e?3t?38e。
t
3、 x???2x??5x?0,x?0??1,x??0??5 解：设L[x(t)]?X(s),2L[x?(t)]?sX(s)?x(0)?sX(s)?1,
2L[x??(t)]?sX(s)?sx(0)?x?(0)?sX(s)?s?5
于是，L[x??]?2L[x?]?5L[x]?0?s2X(s)?s?5?2(sX(s)?1)?5X(S)?0， 得，X(s)?s?7s?2s?52?s?1?6(s?1)?222?L[X(s)]?x(t)?eL[?1?t?1s?6s?22]?e[cos2t?3sin2t]。 2?t
10
要求背出下列公式：
?
F[e(t)]?1??j?1；F[u(t)]?1j????(?)；F[?(t)]?1；F[1]?2??(?)。
?(m?1)sm?1? ? ? ?
L[e]?kts?k； L[tm]?1s2?m!sm?1(m是自然数)；
L[u(t)]?L[1]?L[sinkt]?L[shkt]?k；L[?(t)]?1
,,L[coskt]?L[chkt]?ss?ks2222s?kks?k222,
s?k,
附：积分变换的主要公式： ? ? ? ?
F[f(t)]?F?1?????f(t)e1?jwtdt?F(w)
j?t[F(?)]?2??????F(?)ed??f(t)
F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)]
?F(w?w0)
F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?
F[sinw0tf(t)]?12j12[F(w?w0)?F(w?w0)]
? ? ? ? ? ?
F[cosw0tf(t)]?[F(w?w0)?F(w?w0)]
F[f?(t)]?(jw)F(w) （t???,f(t)?0）
F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)f(t)]?Fn(n)(w)
L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)
2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)
L[(?t)f?t?]?F??s?，L[(?t)f?t?]?Fnt(n)?s?
?
L[?f?t?dt]?0F?s?s
? L[f?t?tat]???sF?s?ds（收敛）
? ?
L[ef?t?]?F?s?a??s?
L[f?t???]?eF?s?（??0,t?0,f(t)?0）
11