2012学年第二学期徐汇、松江、金山区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若函数f(x)?a(a?0,a?1)的反函数图像过点(2,?1)，则a= . 1x2．已知函数f(x)?x3,x??8,64?的值域为A，集合B??x|??x14x?3x??0?，则?A?B= .
3．已知??(??2,0)，且cos??45，则tan2?=___________.
4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15?，则此圆锥的体积为__________（结果保留?）. 5．已知x??3?2i（i为虚数单位）是一元二次方程x?ax?b?0 (a,b均为实数)的一个根，则a?b=__________. 6．如图给出的是计算1?13?15???120132开 始 的值的一个程序框图，
i=1, S=0 否 i?2013 图中空白执行框内应填入i? .
7. 在极坐标系中,过圆??6cos?的圆心,且垂直于极轴的直线的 极坐标方程是__________.
??x?2sin?8. 将参数方程?（?为参数，??R）化为普通方程，
2??y?1?2cos?是 S=S+1i输出S 结 束 所得方程是_____ _____.
9. 在二项式(ax?)(a?R)的展开式中，常数项的值是?20，
x36 第6题图
则lim(a?a2?a3???an)= . n??10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两
次，
若用随机变量?表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望
E?=___________.
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OA0第12题图 11．已知椭圆
x225?y216?1内有两点A?1,3?,B?3,0?,P为椭圆上一点，
则PA?PB的最大值为 .
12.如图，O为直线A0A2013外一点，若A0,A1,A2,A3,A4,A5,??,A2013中任意相邻两点的距离相等，
uuuruuuruuuruuuuur????????????????设OA0?a,OA2013?b，用a,b表示OA0?OA1?OA2?LL?OA2013，其结果
为 .
13.设函数f?x??xx，将f?x?向左平移a(a?0)个单位得到函数g?x?，将f?x?向上平移a(a?0)
个单位得到函数h?x?,若g?x?的图像恒在h?x?的图像的上方，则正数a的取值范围为 .
14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与
BC交于点E1，然后复原，记?CDE1??1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D
重合，得到折痕E2D,然后复原，记?ADE2??2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD
与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记?CDE3??3；按此折法从第二步起重复以上步骤??，
得到?1,?2,?,?n,?，则lim?n? . n??
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，
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考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知a,b为实数，命题甲：ab?b，命题乙：
21b?1a?0，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
?1,x?0?216．已知函数f?x???0,x?0，设F(x)?x?f(x)，则F(x)是 （ ）
??1,x?0?A.奇函数，在(??,??)上单调递减 B.奇函数，在(??,??)上单调递增
C.偶函数，在???,0?上递减，在?0,???上递增 D.偶函数，在???,0?上递增，在?0,???上递减
17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (C)”.现有甲、乙、丙
三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
0
有
????????????????18. 如图所示，向量BC的模是向量AB的模的t倍，AB与BC的夹角为?,那么我们称向量????AB经过
????????????一次?t,??变换得到向量BC.在直角坐标平面内，设起始向量OA1??4,0?，向量OA1经
过n?1次
????????12??*?,?变换得到的向量为An?1An?n?N*,n?1?，其中Ai,Ai?1,Ai?2(i?N)为逆时针?23?排列，
记Ai坐标为?ai,bi??i?N*?，则下列命题中不正确的是（ ） ．．．
C?A. b2?3
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A第18题图 B. b3k?1?b3k?0?k?N*? C. a3k?1?a3k?1?0?k?N*?
D. 8?ak?4?ak?3???ak?1?ak??0?k?N*?
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且sinAcosC?cosAsinC?32,若
b?7,
343，求a?c的值.
?ABC的面积S?ABC?
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k.轮船的
最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v匀速航行． （1）求k的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值.
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21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，已知ABC?A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．
（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求直线A1B1到平面DAB的距离.
C1DCB1BA1A第21题图
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列?an?(n?N)的前n项和为Sn,数列?列.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?415???2?an*1?Sn??是首项为0，公差为的等差数
2?n?(n?N)，对任意的正整数k，将集合?b2k?1,b2k,b2k?1?中的三个元
*素排成
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