所以，集合?xdk?x?dk?1,x?Z?的元素个数为(dk?1?)?(dk?)?1
55353(4?1)5k11?dk?1?dk??；……..13分
②当k为偶数时，同理可得集合
3?(4?1)5k?xdk?x?dk?1,x?Z?的元素个数为
. .…..16分
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。 解：(1)设双曲线C的方程为
xa22?yb22?1(a?0,b?0)，则a?1，…….2分
又
ba?2 ，得b?2，所以，双曲线C的方程为x?2y22?1. ………….4分
(2) 当直线AB垂直于x轴时，其方程为x??3，A,B的坐标为(?3,4)、(?3,?4)，
????????????????DA?(?4,4),DB?(?4,?4)，得DA?DB=0. ………………..6分
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y?k(x?3)，由?2222?y?k(x?3)?2x?y?222得
(2?k)x?6kx?9k?2?0.
6k22 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?2?k, x1?x2??9k?22?k22，……………..8分
????????2故DA?DB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k(x1?3)(x2?3)
?(k?1)x1x2?(3k?1)(x1?x2)?9k?1.……....9分
?9k?22?k22222?(k?1)2＋(3k?1)26k222?k????????＋9k?1=0 . 综上，DA?DB=0为定值. ………………10
2分
(3)当M,N满足EM?EN时，取M,N关于x轴的对称点M?、N?，由对称性知
EM??EN?，此时MN与M?N?所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上. ……..11分
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设直线MN的方程为：x?my?t，
?x?my?t?bx?ay?ab22222 由?，得(bm?a)y?2bmty?b(t?a)?0 2222222222222 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1?y2??2bmtbm?a222, y1y2?b(t?a)bm?a222，
由EM?EN，得(x1?a)(x2?a)?y1y2?0，(my1?t?a)(my2?t?a)?y1y2?0， 即(1?m)y1y2?m(t?a)(y1?y2)?(t?a)?0，
222(1?m)b(t?a)bm?a222222?m(t?a)2bmtbm?a2222?(t?a)?0，
2 化简得， t?a(a?b)a?b2222或t?a (舍)， ……………………………………….13分
所以，直线MN过定点(
a(a?b)a?b2222,0). ………………………………..14分
情形一：在双曲线? ：
xa22?yb22?1(a?0,b?0,a?b)中，若E?为它的左顶点，M,N为双
曲线?上的两点(都不同于点E?)，且E?M?E?N，则直线MN过定点(?a(a?b)a?b2222,0). …….15分
情形二：在抛物线y?2px(p?0)中，若M,N为抛物线上的两点(都不同于原点O)，且
OM?ON，则直线MN过定点(2p,0). …………..16分
xa222 情形三：（1）在椭圆?yb22?1(a?b?0)中，若E为它的右顶点，M,N为椭圆上的两点
(都不同于点E), 且EM?EN，则直线MN过定点(
a(a?b)a?b2222,0)；…………..15分
（2）在椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)中，若E?为它的左顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同
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于点E?)，且E?M?E?N，则直线MN过定点(
a(b?a)a?b2222,0) ；………..16分
（3）在椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)中，若F为它的上顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同
于点F), 且FM?FN，则直线MN过定点(0,
b(b?a)a?b2222)； ………..17分
（4）在椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)中，若F?为它的下顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同
于点F?), 且F?M?F?N，则直线MN过定点(0, b(a?b)a?b2222). ………..18分
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