一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列?dk?为等比数列； （3）对（2）题中的dk，求集合?xdk?x?dk?1,x?Z?的元素个数.
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.
??已知双曲线C的中心在原点，D?1,0?是它的一个顶点，d?(1,2)是它的一条渐近线
的一个方向向量.
(1) 求双曲线C的方程；
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(2) 若过点(?3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D)，
????????求证：DA?DB为定值；
xa22(3) 对于双曲线?:
的两点
?yb22?1(a?0,b?0,a?b)，E为它的右顶点，M,N为双曲线?上
(都不同于点E)，且EM?EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；
若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线
xa22?yb22?1(a?0,b?0,a?b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y?2px(p?0)及它的顶点；
xa222情形三：椭圆
?yb22?1(a?b?0)及它的顶点.
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数学（理）参考答案
一．填空题:(本题共有14题，每小题4分) 1．
12 2. ?2,3? 3. ?2247 4. 12? 5. 19 6．i?2 7. ?cos??3
148. y??x?3(?2?x?13.a?2 14.
?62) 9. ? 10.
14?? 11.15 12.1007(a?b)
二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15. B 16. B 17. C 18.D 三．解答题 19．（本题12分）
解：由条件可得sin(A?C)?32，????? 2分
即sinB?32，?????4分
12343.?ac?3.????????????8
2?S?ABC?acsinB?22分
由余弦定理b?a?c?2accosB,得b2?(a?c)2?2ac?2accosB,??????10分
于是，7?(a?c)?2?3(1?).?a?c?4. ???????????????12分
22120.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费W1?kv，????????????2分
把v=10，W1?96代入得k?0.96.??????????????????6分 （2）W?0.96v?=96v?22100v15000v?100?150v，??????????????9分
?21440000?2400，?????????11分
15000v其中等号当且仅当96v?时成立，解得v?1500096?????13分 ?12.5?15，
所以，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）. ???????????
14分
21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解：（1）方法一：
以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.???1分 由题意得
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xA1A A1?1,0,0?,D0,1,3,B??1,2,0?,C0,2,3 ?????????则A1D??1,1,3,BC?1,0,3. .............3分
?????????设?为向量A1D与BC的夹角，则
???????2?cos??(?1)?1?22?1?3??3?1?2?3?2?55，.....5分
C1DC
B1EB
5异面直线AD与BC所成角的大小为arccos . ...... 6分
1方法二：取B1B中点E，连结A1E,DE.
5A1A?DE//CB?????????????.2分
??A1DE（或其补角）为异面直线A1D与BC所成的角. ??3分
由题意得:在Rt?A1B1E中，A1E?5;在Rt?A1C1D中，A1D?
DE5A1D5cos?A1DE?2?.在等腰三角形A1DE中， 5;????????4分
zC1DC???5分
5arccos所以异面直线A1D与BC所成角的大小为 . .... 6分
5B1OA1ABy
（2）方法一：
由题意可得A1B1//平面ABD,
x所以，A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h. ?????.8分
r?设平面ABD的法向量为n，n??x,y,1?,
由A1(1,0,0),A?1,2,0?,D0,1,3,B??1,2,0?得
?????????????AB???2，0，0?，AD??1，?1，3，A1D??1,1,3,???????11分 ????????2x?0 ?x?0?AB?n?0?????????????x?y?3?0??y?3, ????AD?n?0???????即n?0,3,1. ????????????????????12分
??????所以 0?3?3n?A1Dh???3,? 2n
??
故直线A1B1到平面DAB的距离为3.?????????????14分 方法二：
由题意可得A1B1//平面ABD,
所以，A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h.?????.8分
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由题意得A1D?AD?BD?125,AB?2，
等腰?ADB底边AB上的高为5?1?2， 则S?AAB?21 S?ABD??2?2?2,
且D到平面ABB1A1的距离为3，???????????????12分 由VA?ABD?VD?AAB得???????????????????????13分
11
13?S?ABD?h?13S?AAB?13，则h?3，
所以，直线A1B1到平面DAB的距离为3.?????14分
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第
（3）小题满分6分. 解：(1)由条件得
Snn?0?(n?1)12*，即Sn?n2(n?1),…………………………..2分
所以，an?n?1(n?N). ……………………………………………………..4分 (2) 由（1）可知bn?所以，b2k?1?b2k?1?4154152k415?(?2)?415n?1(n?N)
2k?2*(?2)?42k?2?2，b2k?415(?2)2k?1??415?22k?1,
(?2)15?22k，…………………………..7分
由2b2k?1?b2k?b2k?1及b2k?b2k?1?b2k?1得b2k,b2k?1,b2k?1依次成递增的等差数列,……………..8分
所以dk?b2k?1?b2k?1?dk?1dk415?22k?415?22k?2?4k5，…………………………..9分
满足
?4为常数，所以数列?dk?为等比数列. …………………………..10分
（3）①当k为奇数时，
dk??54k5?1(5?1)5k?2k?25?Ck5k1k?1?Ck552k?2???(?1)15k，…………………………..12分
k?1k?1?Ck5?Ck5k?3???Ck5(?1)k?10?同样，可得dk?1?4k?15?(5?1)5k?1?5?Ck?15k1k?1?Ck?152k?2???Ck?15(?1)?k0k15,
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