金陵中学2014届高三第一次仿真测试 数学Ⅰ 2014.5
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回． 2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚． 4．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 参考公式：
（1）样本数据x1，x2，…，xn的方差s?1?(xi?x)2，其中x?1?xi.
ni?1ni?12nn（2）函数f(x)?sin??x???的导函数f?(x)???cos??x???，其中?，?都是常数. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上． ．．
1． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2?x2?1的离心率为 ▲ . 2． 若复数z满足?1?2i?z??3?4i（i是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 ▲ . 4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .
5． 设全集U?Z，集合A?xx2?x?2≥0，x?Z，则eUA? ▲ .（用列举法表示）
6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a = (1，2)，a?1b?(3，1)，则a?b? ▲ . 27． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .
8. 设P是函数y?x?x?1?图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为?，则?的取值范围是 ▲ .
9． 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y?log2212 a?1 b?2 c?3 c?a a?b b?c Print a，b （第3题）
??x，y?x，y???的
22x图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 ▲ .
1
y 10．观察下列等式：
13?1，
1?2?9，
13?23?33?3，6
13?23?33?43?1，00 ……
332A 1 O 3*B D 1 （第9题）
C x 猜想：1?2?3?????n? ▲ （n?N）.
11．在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心. 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .
12．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x??0，π?都成立，则a2?a1的最小值为 ▲ .
??2??13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆
y B 333x2?y?1(a?b?0)的左、右焦点，B，C分别为椭
a2b2圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.
若cos?F1BF2?7，则直线CD的斜率为 ▲ .
2514．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成
公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的
F1 2O F2 D x C 等比数列. 若a4?a1?88，则q的所有可能的值构成的集合为 ▲ . (第13题)
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.
（1）若2sinAcosC?sinB，求a的值；
c（2）若sin(2A?B)?3sinB，求tanA的值.
tanC
16．(本小题满分14分)
如图，在六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1//CC1，A1B?A1D，AB?AD.求证：
D1
（1）AA1?BD；
A1 （2）BB1//DD1.
D
2
C1 B1
C B （第16题）
A
17．(本小题满分14分)
将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植.
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时2小时，种植一捆沙棘树苗用
5时1小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？ 2（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为2小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2小时，于是从A组抽调6名志愿者53加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 高 考 资 源 网
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x?1)2?y2?1，圆C2：(x?3)2?(y?4)2?1．
0)的直线l被圆C2截得的弦长为 （1）若过点C1(?1，y 6，求直线l的方程；
5 . C2 （2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
. C1 O ②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的
坐标；若不经过，请说明理由．
（第18题）
19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)?x?sinx．
（1）设P，Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx在?0，π?上恒成立．
?2?
20. (本小题满分16分)
设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n?N*，存在k?N*，使得an?k2?an?an?2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列.
（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2?8，a8?1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列.
3
x
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答． ．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC?3，CD切半圆O于点D， DE⊥AB，垂足为E．若AE∶EB ?3∶1，求DE的长．
B．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
D A · O E B C （第21－A题） ?01?
在平面直角坐标系xOy中，直线y?kx在矩阵??对应的变换下得到的直线过点10??P(4, 1)，求实数k的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆??asin?（a?0）与直线?cos????1相切，求实数a的值．
?
D．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）
已知正数a，b，c满足abc?1，求证：(a?2)(b?2)(c?2)≥27．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文
字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
2an已知数列{an}满足：a1?1，an?1? (n?N*)．
2an?1（1）求a2，a3的值；
（2）证明：不等式0?an?an?1对于任意n?N*都成立．
?? 4
23．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上
方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于
点M，直线AD与直线BC交于点N．
y （1）求抛物线的标准方程；
A （2）求证：MN?x轴；
（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0）， M 求证：直线AB过定点． B N C D O F x
5
（第23题）