亦即2?a≤g'(x)≤πa?1．……………………………………12分
2（i）当2?a≥0，即1?a≤2时，g'(x)≥0，
所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)?0，符合题意．…14
?2?分
（ii）当2?a?0，即a?2时，存在x0?0，π，使得
2 x0)时，有g'(x)?0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数， 当x?(0，??从而g(x)?g(0)?0，不能使g(x)?0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2．……………………16分
20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．
设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n?N*，存在k?N*，使得an?k2?an?an?2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．
（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2?8，a8?1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列. a解：（1）由题意，得a2，a4，a6，a8，…成等比数列，且公比q?8a2??13?1， 2 所以a2n?a2qn?1?12??n?4． ……………………………4分
（2）证明：由{an}是“J4型”数列，得
a1，a5，a9，a13，a17，a21，…成等比数列，设公比为t. ……………6分
由{an}是“J3型”数列，得
a1，a4，a7，a10，a13，…成等比数列，设公比为?1； a2，a5，a8，a11，a14，…成等比数列，设公比为?2； a3，a6，a9，a12，a15，…成等比数列，设公比为?3； 则
a13aa??14?t3，17??24?t3，21??34?t3． a1a5a94 所以?1??2??3，不妨记???1??2??3，且t??3． ……………12分
11
于是a3k?2?a1?k?1?a1 a3k?1?a5?k?2??3?(3k?2)?1，
?a1t?k?2?a1?k?23?a1?a1???33(3k?1)?1，
a3k?a9?k?3?a1t2?k?3?a1? 所以an?a1k?13???3k?1，
??3?n?1，故{an}为等比数列．………………………16分
数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议
21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC?3，CD切半圆O于点D， DE⊥AB，垂足
为E．若AE∶EB ?3∶1，求DE的长． 解：连接AD、DO、DB．
由AE∶EB?3∶1，得DO∶OE?2∶1．
又DE⊥AB，所以?DOE?60．
故△ODB为正三角形．……………………………5分 于是?DAC?30??BDC．
而?ABD?60，故?C?30??BDC． 所以DB?BC?3．
在△OBD中，DE?3DB?3．…………………………………10分
22
B．选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． ?01?
在平面直角坐标系xOy中，直线y?kx在矩阵??对应的变换下得到的直线过点10??P(4, 1)，
D A · O E B C （第21－A题） 求实数k的值．
?x??x???x???01??x??y??x??y，? 解：设变换T：?????，则????，即……………5分 ???y??x????10yyyy?x. ????????????? 代入直线y?kx，得x??ky?．
1)代入上式，得k?4．…………………………10分 将点P(4，C．选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
12
在极坐标系中，已知圆??asin?（a?0）与直线?cos????1相切，求实数a的值．
? 解：将圆??asin?化成普通方程为x?y?ay，整理，得x?y?a222??2??2?a． 42 将直线?cos????1化成普通方程为x?y?2?0． ……………………6分
??a?22?a．解得a?4?22．…………………………… 10分 由题意，得22??
D．选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a，b，c满足abc?1，求证：(a?2)(b?2)(c?2)≥27．
证明：
(a?2)(b?2)(c?2)?(a?1?1)(b?1?1)(c?1?1) …………………………………………4分 ≥3?3a?3?3b?3?3c ?27?3abc ?27（当且仅当a?b?c?1时等号成立）． …………………………10分 22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．
2an已知数列{an}满足：a1?1，an?1? (n?N*)．
2an?1（1）求a2，a3的值；
（2）证明：不等式0?an?an?1对于任意n?N*都成立．
a3?4． …………………………………2分 （1）解：由题意，得a2?2，35（2）证明：①当n?1时，由（1），知0?a1?a2，不等式成立．………………4分
②设当n?k(k?N*)时，0?ak?ak?1成立，………………………6分
则当n?k?1时，由归纳假设，知ak?1?0． 而
ak?2?ak?1?2a?a?1??2ak?ak?1?1?2ak?12ak2(ak?1?ak)??k?1k??0，
ak?1?1ak?1(ak?1?1)(ak?1)(ak?1?1)(ak?1)
所以0?ak?1?ak?2，
即当n?k?1时，不等式成立．
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由①②，得不等式0?an?an?1对于任意n?N*成立．………………10分
23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BDy 交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
A （1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：MN?x轴； M （3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0）， B N 求证：直线AB过定点．
C D O F 2解：（1）设抛物线的标准方程为y?2px(p?0)， 由题意，得
x p
?1，即p?2． 2 所以抛物线的标准方程为y2?4x．…………………3分 （第23题） y2)，且y1?0，y2?0． y1)，B(x2， （2）设A(x1，
由y2?4x（y?0），得y?2x，所以y??1．
x 所以切线AC的方程为y?y1?1(x?x1)，即y?y1?2(x?x1)．
y1x1整理，得yy1?2(x?x1)， ① 0)． 且C点坐标为(?x1，同理得切线BD的方程为yy2?2(x?x2)，② 0)． 且D点坐标为(?x2， 由①②消去y，得xM? 又直线AD的方程为y? 直线BC的方程为y?x1y2?x2y1．………………………………5分
y1?y2y1(x?x2)，③ x1?x2y2(x?x1)． ④ x1?x2x1y2?x2y1．
y1?y2 由③④消去y，得xN? 所以xM?xN，即MN?x轴． …………………………………7分
1?x1)，y0y2?2(1?x2)． y0)，代入（1）中的①②，得y0y1?2( （3）由题意，设M(1，
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y1)， B(x2， y2)都满足方程y0y?2(1?x)． 所以A(x1， 所以直线AB的方程为y0y?2(1?x)．
0)．………………………………………10分 故直线AB过定点(?1，
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