数学Ⅰ参考答案及评分建议
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2?x2?1的离心率为 ▲ . 答案：2 2． 若复数z满足?1?2i?z??3?4i（i是虚数单位），则z = ▲ . a?1 b?2 c?3 c?a a?b b?c 答案：1 + 2i
3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 ▲ . 答案：2，1
Print a，b 4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 （第3题） ▲ .
答案：0.02
5． 设全集U?Z，集合A?xx2?x?2≥0，x?Z，则eUA? ▲ （用列举法表示）.
?? 答案：{0，1}
6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a = (1，2)，a?1b?(3，1)，则a?b? ▲ . 2 答案：0
7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则
在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：2
98. 设P是函数y?x(x?1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为
?，则?的取值范围是 ▲ . y 答案：?π，π
??32B 2A 9． 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数
?y?log22x，y?x，y?12??的图象上，且矩形
22x1 O D 1 （第9题）
的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则 点D的坐标为 ▲ . 答案：1，1
2410．观察下列等式：
C x ??
13?1，
13?23?9，
13?23?33?3，6
13?23?33?43?1，00 ……
猜想：13?23?33?????n3? ▲ （n?N*）. ?n(n?1)? 答案：?
?2??211．在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心. 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形
6
中，面积的最大值为 ▲ .
答案：12
12．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x??0，π?都成立，则a2?a1的最小值为 ▲ .
??2?? 答案：1?2
π13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆
y B x2?y?1(a?b?0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆 a2b2的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D. 若
cos?F1BF2?7，则直线CD的斜率为 ▲ .
252F1 O F2 D x 答案：12
25C (第13题)
14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若a4?a1?88，则q的所有可能的值构成的集合为 ▲ .
答案： 5， 8
37二、解答题
15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．
在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.
（1）若2sinAcosC?sinB，求a的值；
c（2）若sin(2A?B)?3sinB，求tanA的值.
tanC解：（1）由正弦定理，得sinA?a．
sinBb 从而2sinAcosC?sinB可化为2acosC?b．……………………………3分
222a?b?c?b． 由余弦定理，得2a?2ab?? 整理得a?c，即a?1. …………………………………………………………7
c分
（2）在斜三角形ABC中，A?B?C??，
所以sin(2A?B)?3sinB可化为sin?????A?C????3sin?????A?C???， 即?sin?A?C??3sin?A?C?．…………………………………………10分 故?sinAcosC?cosAsinC?3(sinAcosC?cosAsinC)．
整理，得4sinAcosC??2cosAsinC， …………………………………12分 因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC?0，
7
所以tanA??1．…………………………………………………………14分
tanC216．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能
力．满分14分．
如图，在六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1//CC1，A1B?A1D，AB?AD.求证：
D1 （1）AA1?BD； （2）BB1//DD1.
证明：（1）取线段BD的中点M，连结AM、A1M， 因为A1D?A1B，AD?AB，
A 所以BD?AM，BD?A1M．…………………3分 又AM 而AA1?平面A1AM，
所以AA1?BD.………………………………7分 （2）因为AA1//CC1，
AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1， 所以AA1//平面D1DCC1．………………………9分 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1 所以AA1//DD1．同理得AA1//BB1，
所以BB1//DD1．……………………………………14分
17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．
将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗， B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时2小时，种植一捆沙棘树苗用
5时1小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？ 2（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为2小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2小时，于是从A组抽调6名志愿者53加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解：（1）设A组人数为x，且0?x?52，x?N*，
平面D1DCC1?DD1………11分
D M B （第16题）
A1 B1
C1
C
A1M?M，AM、A1M?平面A1AM，所以BD?平面A1AM．
150?25?60；…………………2分 则A组活动所需时间f(x)?xx200?12?100．…………………4分 B组活动所需时间g(x)?52?x52?x 令f(x)?g(x)，即60?100，解得x?39．
2x52?x
8
所以两组同时开始的植树活动所需时间
?60， x≤19，x?N*，?x ……………………………………6分 F(x)??*100?，x≥20，x?N.?52?x 而F(19)?60，F(20)?25，故F(19)?F(20)．
198 32时，使植树活动持续时间最短．……8分 所以当A、B两组人数分别为20，150?2?20?15 （2）A组所需时间为1+，……………10分 ?36（小时）20?67200?2?32?13 B组所需时间为1?， ……………12分 ?32（小时）32?63 所以植树活动所持续的时间为36小时． …………………………14分
7
18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础y 知识，考
l1 查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分． l2 如图，在平面直角坐标系xOy中， C2 已知圆C1：(x?1)2?y2?1，圆C2：(x?3)2?(y?4)2?1． 0)的直线l被圆C2截得的弦长为 （1）若过点C1(?1，CC1 O x 6，求直线l的方程；
5（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长． ①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．
解：（1）设直线l的方程为y?k(x?1)，即kx?y?k?0．
因为直线l被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的半径为1，
5 4)到l：kx?y?k?0的距离为所以圆心C2(3，（第18题）
4k?4?4．…………3分
k2?15 化简，得12k2?25k?12?0，解得k?4或k?3．
43 所以直线l的方程为4x?3y?4?0或3x?4y?3?0．……………………6分 y)，由题意，得CC1?CC2， （2）①证明：设圆心C(x， 即(x?1)2?y2?(x?3)2?(y?4)2．
9
化简得x?y?3?0，
即动圆圆心C在定直线x?y?3?0上运动．…………………10分
3?m)， ②圆C过定点，设C(m，则动圆C的半径为1?CC12?1?(m?1)2?(3?m)2．
于是动圆C的方程为(x?m)2?(y?3?m)2?1?(m?1)2?(3?m)2． 整理，得x2?y2?6y?2?2m(x?y?1)?0………………………14分 ?x?1?32，?x?1?32，?x?y?1?0，??22由?2得?或? 233 x?y?6y?2?0，?? y?2?2；? y?2?2.?2?2 所以定点的坐标为1?32， 2?32，1?32， 2?32…………16分 2222
19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方
法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．
已知函数f(x)?x?sinx．
（1）设P，Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx在?0，π?上恒成立．
?2? 解：（1）由题意，得f?(x)?1?cosx≥0．
所以函数f(x)?x?sinx在R上单调递增．
y2)，则有 y1)，Q(x2， 设P(x1，????y1?y2?0，即kPQ?0． ……………6分 x1?x2 （2）当a≤0时，f(x)?x?sinx≥0≥axcosx恒成立．………………8分 当a?0时，令g(x)?f(x)?axcosx?x?sinx?axcosx， g'(x)?1?cosx?a(cosx?xsinx) ?1?(1?a)cosx?axsinx．
①当1?a≥0，即0?a≤1时，g'(x)?1??1?a?cosx?axsinx?0， 所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．
?2? 所以g(x)≥g(0)?0?sin0?a?0?cos0?0，符合题意． …………10分 ②当1?a?0，即a?1时，令h(x)?g'(x)?1?(1?a)cosx?axsinx， 于是h'(x)?(2a?1)sinx?axcosx．
因为a?1，所以2a?1?0，从而h'(x)≥0． 所以h(x)在?0，π?上为单调增函数．
?2? 所以h(0)≤h(x)≤hπ，即2?a≤h(x)≤πa?1，
22?? 10