西安石油大学本科毕业设计（论文）
2 小波变换基本理论
2.1 Fourier变换
Fourier变换由下列公式定义： 正变换
逆变换
1 f(t)?2??f(?)??f(t)e?j?tdt (2-1)
????????f(?)ej?tdt (2-2)
对于确定信号和平稳随机信号，傅里叶变换时信号分析和信号处理技术的理论基础，有着非凡的意义，起着重大作用。
傅里叶变换把时间域与频率域联系起来，f(?)具有明确的物理含义，通过研究
??f(?)来研究f(t)，许多在时间域内难以看清的问题，在频率中往往表现得非常清楚。
但正是由于傅里叶变换的域变换特性，f(t)与f(?)彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。作为变换积分核的e?j?t的幅值在任何情况下均为1，即e??j?t?=1，因此，频谱f(?)在任一频率处的值是由时间
?过程f(t)在整个时间域（??，?）上的贡献决定的；反之，过程f(t)在某一时刻的状态也是由f(?)在整个频率域（??，?）上的贡献决定的。如果要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，那么傅里叶变换是无能为力的，因为傅里叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
简言之，傅里叶变换能提取出函数在整个频率轴上的频率信息，却不能反映信号在局部时间范围内的特征。然而，对于变频信号如音乐、地震信号、雷达回波等。此时所关心的恰恰是信号在局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分）。例如，在音乐和语音信号中，人们关心的是在什么位置出现什么样的反射波。
对非平稳信号用傅里叶变换进行分析，不能提供完全的信息，也即通过傅里叶变换可以知道信号所含有的频率信息，但无法知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。可见，若要提取局部时间段（或瞬间）的频率特征信号，傅里叶变换已经不再适用了。
2.2 短时Fourier变换
为了克服傅里叶分析的局限性，使其对非平稳信号也能作较好的分析，通过对信号在时域上加一个窗函数g(t-?),使其对信号f(t)进行乘积运算以实现在?附近的开窗盒平移，再对加窗的信号进行傅里叶分析，这就是短时傅里叶变换，或者称为
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加窗傅里叶变换。短时傅里叶变换定义如下：
sf(?,?)??f(t)g(t??)e?j?tdt (2-3)
???其中，窗口函数f(t)一般取为光滑的低通函数，保证g(t??)只在?点附近局部地测量了频率分量?的幅度值，得到信号在t=?时刻附近的频率信息。这是时间频率局部化的一种标准技术。若采用高斯函数作为窗口函数，其相应的傅里叶变换仍旧是高斯函数，从而保证短时傅里叶变换在时域和频域内均有局部化功能。
如果选取的窗口函数在时域和频域都具有良好的局部性质（如呈指数衰减的高斯函数），此时短时傅里叶变换能够同时在频域和时域内提取关于信号的精确信息。
但短时傅里叶变换存在其固有的局限，其时间频率窗口是固定不变的，一旦窗口函数g(t)选定，其时频分辨率也就确定了，并且不随频率?和时间?而变化。也就是说，它对所有的频率都使用同样的窗口。我们若想提高时间分辨率，就要把窗口缩的很窄，但这样势必会降低频率分辨率。由测不准原理可知，不可能在时间和频率上均有任意高的分辨率，因为时间和频率的最高分辨率受下式的制约：
1????t? (2-4)
4?式中?t和??分别代表时间域和频率域的窗口宽度。这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。
2.3 小波变换
上节的的分析表明，短时傅里叶变换的问题的症结在于使用了固定的窗口，而对实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性：对于高频谱的信息，时间间隔要相对地小以给出较高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息。换句话说，重要的是要有一个灵活可变的时间-频率窗，能够在“高中心频率”时自动变窄，而在“低中心频率”时自动变宽。而小波函数就是为此而设计的。
2（R）设f(t)是平方可积函数，记作f(t)?L，?(t)为基本小波或母小波，它一般是
时域上以t=0为中心的带通函数，在时域和频域都具有局部化（紧支撑），且均值为零，即
?如果?(t)满足容许性条件
????(t)dt?0 (2-5)
?2 C???则
??(?)?d??? (2-6)
0 Wf(a,b)?f,?a,b??f(t)???1a?(t?b)dt (2-7) a称为f(t)的小波变换。其中
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?a,b= a为尺度因子，b为位移因子。
小波变换的特点有：
1t?b?(), a>0, b?R (2-8)
aa(1) 时频局域性、多分辨分析、数学显微镜； (2) 自适应窗口滤波：低频宽、高频窄； (3) 适用于去噪、滤波、边缘检测等。
2.3.1 连续小波变换
对任意连续函数或信号f(t)进行小波变换，如果基函数?a,b(t)的两个参数a和b均为连续变量，则被称为连续变量，则被称为连续小波变换(continuous wavelet transform,CWT)。
连续小波变换的形式可以写为
Wf(a,b)?????f(t)1a?(t?b)dt (2-9) a2.3.2 二进小波变换
为了将小波变换应用于信号分析的实践，需要将小波变换进行离散化，就像将傅里叶变换离散化一样。将小波变换离散化就是对变换参数进行离散化。
本节先讨论尺度因子a的离散化问题。在小波变换中，常令a取离散值 aj?2j (j?Z) (2-10) 称之为二进离散化。
这时，小波基函数的形式为
?2,b(t)?2?j/2?(jt?b) (2-11) j2对应的小波变换为
Wf(2j,b)??f(t)???12j?(t?b)dt (2-12) j2j称为分辨率级别。
2.3.3 离散小波变换
下面再将二进小波变换中的平移因子也离散化。令b=n2j，则可得离散小波变换：
?1t?n2jjj Wf(2,n2)??f(t)?()dt (2-13) j??j22 对小波变换进行离散化的一般情形是小波基函数?a,b的尺度因子a和位移因子
b都只限定在某些离散点上取值。一种最通常的离散方法如下：尺度因子按幂级数进
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行离散化，位移因子在尺度内均匀离散化，在尺度间具有幂次关系，即有： a?a0j， b?nb0a0j；a0?1,b0?0, j,n?Z。 (2-14) 此时的小波基函数表示为如下形式：
t?nb0a0j1?j/2?j?()?a?(at?nb0) (2-15) ?j,n(t)?00jaj0a0任意函数f(t)离散小波变换为
Wf(j,n)?f(t),?j,n(t) ?????f(t)?j,n(t)dt
?a?j/20???f(t)?(a?j?0t?nb0)dt (
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3 多分辨率分析
3.1 多分辨率分析概念的引入
1989年，Mallat提出了多分辨率分析的概念，从空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率分析特性。若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观察到目标的细节部分。这种由粗及精对事物的分析就称为多分辨率分析。
空间L2(R)的一个多分辨率分析是指满足以下性质的一个闭子空间序列
Vj?L2(R)，j?Z。
（1） 一致单调性：
Vj?Vj?1，对任意j?Z (3-1) （2） 伸缩规则性：
f(t)?Vj?f(2t)?Vj?1 (3-2) （3） 平移不变性：
f(t)?V0?f(t?n)?V0 ，对所有n?Z (3-3) （4） 逼近性：
?V??0?,?Vjj?Zj?Zj?L2(R) (3-4)
（5） 正交基存在性： 存在一积分值非零的函数?(t)?V0，使??(t?n)n?Z?是
V0的标准正交基。
称?(t)为多分辨率分析的尺度函数，Vj为尺度j上的尺度空间。由多分辨率分析的定义知，所有的闭子空间Vj的尺度空间。
??j?Z都是由同一函数?(t)伸缩后的平移系列张成
3.2 小波函数与小波空间
记Vj在Vj?1的补空间为Wj，即
Vj?1?Vj?Wj，Wj?Vj (3-5) 显然，任意子空间Wm和Wn（m?n）是相互正交的，并且，由式（3-1）和式（3-4）可知
?Wj?L2(R) (3-6)
j因此，Wj???j2是的一系列正交子空间。若，显然有f(t)?WL(R)f(2t)?Wj。 0j?Z- 7 -