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与尺度函数的定义类似，称?为小波函数，相应地，称Wj是尺度为j的小波空间。显然，小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说，空间Wj包含了函数f投影到尺度空间Vj与Vj?1间的细节差别，因此小波空间又称为细节空间。
由上的分析可知，多分辨率分析的核心是V0，W0空间的标准正交基?(t?n)以及
?(t?n),n?Z。只要它们已知，分析就可以逐级进行。而要找到这两组标准正交基，其关键是找到合适的尺度函数?(t)和小波函数?(t)。
3.3 二维多分辨率分析
构造多维小波基最简单且常用的方法是张量积方法。应用这种方法可将一维多分辨率分析很容易地推广到二维多分辨率分析。L2(R2)的多分辨率分析是L2(R2)的子空间序列。设Vj2(j?Z)是L2(R2)的一个子空间，信号f(x,y)在分辨率2?j的近似等于信号在向量空间VJ2上的正交投影。类似于一维多分辨率分析，在二维情况下存在着二维尺度函数?(x,y)，使其伸缩和平移??j,m,n(x,y)?构成二维多分辨率分析的标准正交基。其中
?j,m,n(x,y)?2?j?(2?jx?n,2?jy?m),j,m,n?Z (3-7)
设Vj2?Vj?Vj，“?”表示张量积，则Vj2为L2(R2)的多分辨率分析的充要条件是Vjj?Z(j?Z)为L2(R)的一个多分辨率分析。这里只讨论可分离的二维小波，设 ?(x,y)??(x)?(y) (3-8) 设Vj2(j?Z)是L2(R2)的可分离多分辨率分析，?(x,y)??(x)?(y)是相应地二维尺度函数，?(x)是一维多分辨率分析中与?(x)对应的小波函数，则
?1(x,y)??(x)?(y) (3-9) ?2(x,y)??(x)?(y) (3-10) ?3(x,y)??(x)?(y) (3-11) 的平移和伸缩?2?j?i(2?jx?n,2?jy?m)j,m,n?Z,i?1,2,3?构成L2(R2)的标准正交基。记
?j1?j?j ?12?(2x?n,2y?m) (3-12) (x,y)?j,m,n ?j,m,n(x,y)?2 ?j,m,n(x,y)?232?j?2(2?jx?n,2?jy?m) (3-13)
?j?3(2?jx?n,2?jy?m) (3-14)
对二维图像f(x,y)?L2(R2)，可定义其离散小波变换为
d23 (AJf,(D1jf)1?j?J,(Djf)1?j?J,(Djf)1?j?J) 其中
df?(f(x,y),?j,m,n)m,n?Z AJ- 8 -
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1 D1jf?(f(x,y),?j,m,n)m,n?Z (3-15) 2f?(f(x,y),? D2j,m,n)m,n?Z j3 D3jf?(f(x,y),?j,m,n)m,n?Z
(3-16) (3-17)
d23(AJf,(D1jf)1?j?J,(Djf)1?j?J,(Djf)1?j?J)构成了信号f(x,y)的二维正交分解。其
2中系数D1jf给出了f(x,y)垂直方向的小波系数，Djf给出了f(x,y)水平方向的小波系
数，D3jf给出了f(x,y)对角线方向的小波系数。
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4 小波域阈值滤波
4.1 小波域阈值滤波算法
小波域阈值滤波是现在研究的一个热点。小波滤波方法对噪声性质有三个基本假设：
（1） 噪声经小波变换后大多数小波系数为零或近似为零； （2） 噪声均匀地分布在所有系数中； （3） 噪声水平不是太高。
假设观测数据
fi?gi??i,i?1,2,...,N(N?2n) (4-1) 由真实信号gi和加性噪声?i组成，其向量形式为f=g+?。在理想情况下，?i为 （1） 正态噪声； （2） 不相关的噪声； （3） 方差为常量。
当然实际情况并非如此，因此每种假设条件都可以适当放宽，以满足实际应用的需要。我们的目标是在观察到f得前提下，对g进行估计。
小波的时频局部化特性和多分辨率特性决定了小波滤波方法与传统方法相比，具有独特的优势—能够在去处噪声的同时，很好的保留信号的突变部分或图像的边缘。
信号和噪声在小波域中有不同的性态表现，它们的小波系数幅值随尺度变化的趋势不同。随着尺度的增加，噪声系数的幅值很快衰减为零，而真实信号系数的幅值基本不变。小波滤波就是利用具体问题的先验知识，根据信号和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同性质的机理，构造相应地原则，在小波域采用其他数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。处理的实质在于减小甚至完全剔除由噪声产生的系数，同时最大限度的保留真实信号的系数，最后由经过处理的小波系数重构原信号，得到真实信号的最优估计。
小波滤波的特点可概括问哦：首先，它不是平滑。平滑是去除高频信息而保留低频信息；而小波滤波是要试图去除所有噪声，保留所有信号，并不考虑它们的频率范围。其次，它是在小波变换域对小波系数进行非线性处理；第三，滤波过程一般由三个步骤完成：
（1） 小波变换；
（2） 对小波系数进行非线性处理，以滤除噪声； （3） 小波逆变换。
设对感测数据经过小波变换后，得
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w= ??? (4-2) W(?)和W?1(?)分别表示小波变换和逆变换算子，前述滤波过程的三个步骤可描述为
?w=W（f）,wt?D(w,t),g?W?1(wt) (4-3)
其中，D(?,?)为非线性滤波算子，它是滤波问题的核心。显然，这种原理性的归纳并没有涉及到算子W(?)或D(?,?)是如何作用到信号上的，也没有涉及到它们的选取方法以及对滤波效果的影响。通过选择不同的W(?)和D(?,?)，可以得到多种不同的小波滤波方法。
小波滤波的核心是在上述第二个步骤中按照一定得准则对小波系数进行修改，以在不损失过多信号的前提下，达到降低或去除噪声的目的。
对式（4-1）所示的观测数据滤波，Donoho提出了两个滤波的前提条件：
?（1） 光滑性：在大概率条件下，g至少跟g有同样的光滑度；
?（2） 适应性：g是最小均方差估计。
由条件（1）可以推出，当N??时，下式几乎接近于1的概率成立：
? gF?C1gF (4-4) 式中C1为一常数。这在小波域中意味着
? ?j,i??j,i (4-5) 成立，式中1?i?N为位置，j为尺度； ?j,i表示真实信号在尺度j上的第i个小波系数。
?1N?2对于条件（2），可以理解为E（?gi?gi）求最小值，着等价于求E???FNi?1??的最小值。Donoho证明，此时g、?必须满足
? Eg?g2F???E???2F???N2lnN (4-6)
当小波变换为正交小波变换时，??1。由式（4-1-6）可知
?21 E???F???2lnN (4-7)
N?由式（4-7）可知，对于任何?j,i???2lnN，取?j,i?0，将满足式（4-6），这相当于认为当?j,i???2lnN时，?j,i由噪声所产生，因此，可取阈值为
t??2lnN (4-8)
由此可得硬阈值法滤波的步骤为： （1） 对信号求小波变换；
（2） 除了最粗尺度信号外，将各细节信号作阈值处理，阈值t取为??2lnN，当
某位置小波变换值大于阈值时，保留原值，否则置零，用公式表示为
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?j,i???0,?j,i?t (4-9) ?????j,i,其他（3） 利用小波变换重构，求出信号的滤波值。
而软阈值滤波的步骤为： （1） 对信号求小波变换；
（2） 除了最粗尺度信号外，将各细节信号作阈值处理，阈值t取为??2lnN，当某位置小波变换值大于阈值时，向着减小系数幅值的方向作一个收缩t，否则置零，用公式表示为
? ?j,i?sgn(?j,i)?(?j,i?t) 其中sgn（x）为符号函数；
（3） 进行小波变换重构，求出信号的滤波值。
至此，只要知道噪声的方差，就可以实现整个滤波的算法了。Donoho提出了噪声标准差?的估计。至于软阈值法和硬阈值法，哪种方法的滤波效果更好，应视具体情况而定。
以上的算法是基于正交小波得到的，在实际应用中，可将其推广到非正交小波的情形。信号经非正交小波基分解后，不同尺度上的系数彼此相关，故阈值应与尺度有关。设噪声传播到尺度j上的噪声标准差为?j，则式（4-7）应为
?21E???F??j?2lnN (4-11) N这时尺度j上的阈值为tj??j2lnN。
小波域阈值滤波算法中的两个基本要素是阈值和阈值函数。
(4-10)
4.2 阈值函数的选取
阈值函数体现了对小波系数的不同处理策略，主要分为软阈值函数、硬阈值函
数和半阈值函数。它们的基本思想都是去除小幅值的系数，对幅值较大的系数进行收缩或保留。
硬阈值法往往使得滤波结果具有较大的方差（主要因为滤波后的不连续性），而软阈值滤波结果有较大的偏差（主要因为其对所有大于阈值的系数共同作了收缩）。总的说来，硬阈值法可以很好的保留信号或图像的边缘等局部特征，但滤波结果会出现伪Gibbs现象。为了克服软阈值法和硬阈值法的缺点，Gao Hong-Ye提出了另一种阈值函数，即半软阈值函数，并在此基础上推导出了基于半软阈值法的Minimax阈值。这种方法是软阈值法和硬阈值法的折衷形式。它不仅保留了较大的系数，而且具有连续性。然而在半软阈值法中，需要确定两个阈值，增加了算法的复杂度。
4.3 阈值确定方法
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