（1）考查三角函数求值问题，较为简单；（2）利用两角和的余弦公式进行化简然后再借助二倍角公式进行求解，解题时需注意角的范围对三角函数值的影响. 【考点定位】三角函数求值与化简，考查学生的转化分析能力和计算能力.
，
2.某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率. 【答案】(Ⅰ)11 (Ⅱ)4 (Ⅲ)【解析】(Ⅰ) 样本均值为
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为(Ⅲ) 设事件:从该车间
名工人中有几
；
,故推断该车间
名工人中有
名优秀工人. .
名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则
(1)根据茎叶图得到各个数据，然后利用均值公式直接求解，注意计算的准确性；（2）根据样本中优秀工人占的比例进行推断即可；（3）明确有名优秀工人来源于4名工人中的一个，然后利用组合的知识和随机事件的概率公式求解.
【考点定位】本题考查茎叶图、均值和随机事件的概率问题. 3.如图1,在等腰直角三角形为
的中点.将
沿
中,
,
,
分别是
上的点,,其中
. ,
折起,得到如图2所示的四棱锥
(Ⅰ) 证明:(Ⅱ) 求二面角
平面；
的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得连结
,在
中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知所以理可证
, 又
,所以
,
, ,所以
平面
.
(Ⅱ) 传统法:过作因为所以
平面为二面角
为
,所以
交的延长线于,连结, 的平面角.
,
结合图1可知,所以
中点,故,所以二面角
,从而
的平面角的余弦值为如图所示,
.
向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系
则所以设
,
,为平面,即
,
的法向量,则
,解得
,令
的一个法向量,
,得
由(Ⅰ) 知,为平面
所以,即二面角的平面角的余弦值为.
解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.如本题第一问，关键是由翻折不变性可知,借助勾股定理进行证明垂直关系；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为
,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可
能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。
【考点定位】考查折叠问题和二面角的求解，考查空间想象能力和计算能力. 4.设数列
的前项和为
.已知
,
,
.
(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 求数列
的通项公式；
.
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有【答案】(Ⅰ) 4(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ) 依题意,(Ⅱ) 当
时,
(Ⅲ)见解析
,又,
,所以；
两式相减得整理得故数列所以(Ⅲ) 当当
时,
时,是首项为
,即
,又
,公差为的等差数列, ,所以；当
. 时,,此时
；
综上,对一切正整数,有
.
进行递推转化，进而构造数
(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助列
为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进
行证明，放缩的关键是
【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明. 5.已知抛物线的顶点为原点,其焦点上的点,过点作抛物线的两条切线(Ⅰ) 求抛物线的方程； (Ⅱ) 当点
为直线上的定点时,求直线
的方程； 到直线:,其中
为切点.
的距离为
.设为直线
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
的最小值. (Ⅲ)
,由
结合
,
【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为解得
. 所以抛物线的方程为
,即
. ,求导得),则切线,即
(Ⅱ) 抛物线的方程为设所以切线
,
(其中的方程为
的方程为均过点为方程的方程为
的斜率分别为,即
,
,
同理可得切线因为切线所以所以直线
,所以
的两组解. . ,
,
,
(Ⅲ) 由抛物线定义可知所以联立方程
,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得所以又点所以所以当
时,
在直线上,所以
,
,
取得最小值,且最小值为.
(1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式
是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.
【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析问题的能力和转化能力、计算能力. 6.设函数(Ⅰ) 当(Ⅱ) 当
时,求函数
时,求函数
(其中
).
的单调区间；
在
上的最大值
.
,
(Ⅱ)
【答案】(Ⅰ) 函数【解析】(Ⅰ) 当
,
令
,得
,
的递减区间为时,
,递增区间为
的变化如下表:
当变化时,
极大值 极小值 右表可知,函数(Ⅱ)令令所以所以当
,得
,,则
的递减区间为,递增区间为,
,.
,
,所以
,从而
时,
；当
,所以
时,在
上递增,
；
所以令令所以
在
,则
上递减,而使得
时,在
,
上单调递增,在
,
在在
, ,且当
,则
,
时,
,
所以存在当所以因为所以综上,函数
上单调递减.
上恒成立,当且仅当上的最大值
时取得“”.
.
(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的. 【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.