二○○一年全国高中数学联合竞赛题
（10月4日上午8：00—9：40）
题号 得分 评卷人 复核人 一 二 三 13 14 15 合计 加试 总成绩 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在（0，
?2）上单调递增的偶函数是
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是 （A）k=83 （B）0 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）32001 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2= 32-I,则z1z2= 。 9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是 。 1log1210、不等式 x?2?32的解集为 。 第 1 页 共 13 页 11、函数y?x?x2?3x?2的值域为 。 12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物， 相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。 二、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1?a1，b2?a2，b3?a3（a1 lim(b1?b2???bn)?2?1，试求{an}的首项与公差。 22F E A B C D 2n??? 14、设曲线C1: xa22?y2?1(a为正常数)与C2:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。 2 （1） 求实数m的取值范围（用a表示）； （2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0 12时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。 15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。 第 2 页 共 13 页 二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题 （10月4日上午10：00—12：00） 学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、（本题满分50分） 如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。 二、（本题满分50分） n设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且?xi?2i?12?1?k?j?nkjnxkxj?1，求?xi的最大值与最小值。 i?1三、（本题满分50分） 将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。 第 3 页 共 13 页 2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一．选择题：CBDDCA 1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）． Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定 ２２２ 讲解：M表示方程ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ＞0，所以Ｍ含有2个 ２ 元素．故集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ． 2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点． 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点． 以上三个命题中正确的有（ ）． Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ． 3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜ Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜ 讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ． 4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）． Ａ．k?83 Ｂ．0＜ｋ≤12 Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或k?83 讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ． 说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． Ａ．3333? Ｂ．3666? Ｃ．3999? Ｄ．32001? 讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法． 取ω＝－（1／2）＋（ ／2）ｉ，则ω＝1，ω＋ω＋1＝0． ３ ２２ ２ 令ｘ＝1，得 31000＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000； 令ｘ＝ω，得 ２ 0＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω＋…＋ａ2000ω2000； ２ 令ｘ＝ω，得 ２４６ 0＝ａ０＋ａ１ω＋ａ２ω＋ａ３ω＋…＋ａ2000ω4000． 三个式子相加得 31000＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）． ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3999，选Ｃ． 第 4 页 共 13 页 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得， ?6X?3Y?244X?5Y?22 ?问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法： ?解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9． ?∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9． ?∵ａ＞24，ｂ＜22， ?∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0． ?∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ． 图1 ?解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ． ?说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题： ２ ?已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（ ）． ?Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15 ?Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3 ?（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文［1］． 二．填空题 233301372137． 8． 2??i 9． 66 10． (0,1)?(1,27)?(4,??) 11． [1,32)?[2,??) 12． 732 第 5 页 共 13 页