?y?c(x?b2
由???a) 得E点坐标为E(
ac?bc2ac2?abc?a2?c2,a2?c2)
?y??a(x?c)?ca2 同理可得F(
b?b2cab2?abca2?b2,a2?b2)
直线AC的垂直平分线方程为y?a?c(x?c2a2)
直线BC的垂直平分线方程为x?b?c2
?yacc 由????(x?)?2a2bc?a2?x?b?c 得O(
b?c2,2a)
??2bc?a2 k?2abc?a2ab2?abcOBb?c?ac?ab,kDF??ab?aca2b?b2ca2?bc
2?b ∵kOBkDF??1 ∴OB⊥DF 同理可证OC⊥DE．
在直线BE的方程y?c(xa?b)中令x＝0得H(0，?bca)
bc?a2?bc ∴kaa2bcOH?2b?c?a?3ab?ac
2 直线DF的方程为y?ab?aca2?bcx
?y?ab?ac2x222 由???a?bc 得N (ac?bc?a2?2bc?2,abc?ac22) ??y??ac(x?c)ca?2bc?cM (
a2b?b2 同理可得cabc?ab2a2?2bc?b2,a2?2bc?b2)
2 ∴ka(b?c2)(a2?bc)MN?(c?b)(a2?bc)(a2?3bc)??ab?aca2?3bc
∵kOH ·kMN ＝－1，∴OH⊥MN．
nn二．解：先求最小值，因为(?x2i)??x2i?2?ki?1i?11?k?j?njxkxj?1第 11 页 共 13 页
n??xi≥1
i?1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i
n ∴?xi最小值为1． …………………………………………………………… 10分
i?1再求最大值，令xk?nkyk ①
∴?kyk2?2k?1?ky1?k?j?nkyj?1
nn 设M??k?1xk??k?1kyk?y1?y2???yn?a1?y2???yn?a2?， 令?????yn?an?
22???an?1 …………………………………………………… 30分 则①?a12?a2 令an?1＝0，则M?nnn?k?1k(ak?ak?1)
?nnn?k?1kak??k?1kak?1??k?1kak??k?1k?1ak??(k?1k?k?1)ak
由柯西不等式得： M?[?(k?k?1nk?1)](212n?k?12ak)12n?[?k?1(k?k?1)]221
等号成立?
a112???(k?22ak2k?1)2???(n?ak(k?2an2n?1)2
?a1?a2???an1?(2?221)???(n?k?k?1k?1)]212n?1)2?k?1)2
?ak?[n (k=1，2，…，n)
?(k?1k? 由于a1≥a2≥…≥an，从而yk?ak?ak?1?2[k?(k?1?nk?1)212?0，即xk≥0
?(k?1k?k?1)]n 所求最大值为[?(k?k?1k?1)]212 …………………………………………… 50分
三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n) (*)
其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 …………………………………………… 10分
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事实上，不妨没m≥n
(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n) 当用m＝1时，命题显然成立．
假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有 D D1 C 一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n) …………………………………… 20分
n (2)关于m归纳可以证明(*)成立．
当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n) 假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，m A1 A B n)
若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．
当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap 不妨a1≥a2≥…≥ap 显然a1＝n或a1＜n． 若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和． 所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)
若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap的正方形，由归纳假设
a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n) 从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)
于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)
再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)． ………………………………………… 50分
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