7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
?讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．
解法1：由??(0)?a?c?1?(?)?a?c?1/3得
ａ＝2／3，从而ｂ＝
33，故2ｂ＝
233
?解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ2／ｃ＝1及ｂ2＝ａ2－ｃ2，得
33233ｂ＝．从而2ｂ＝．
?说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题． ?8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝______________．
?讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁．
?令ｚ１＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ２＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ及复数相等的充要条件，得
?即
6(cos??cos?)?3/26(sin??sin???1
??12sin((???)/2)sin((???)/2)?3/2
12cos((???)/2)sin((???)/2)??1二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2．由万能公式，得
?ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13． 故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ? ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ． ?说明：本题也可以利用复数的几何意义解．
?9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________．
?讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．
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图2
?为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ１Ｃ１和ＢＤ１都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ１Ｂ１，则Ａ１Ｃ１⊥面ＢＤＤ１Ｂ１，且ＢＤ１面ＢＤＤ１Ｂ１．设Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝0，在面ＢＤＤ１Ｂ１内作ＯＨ⊥ＢＤ１，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离．在Ｒｔ△ＢＢ１Ｄ１中，ＯＨ等于斜边ＢＤ
１
上高的一半，即ＯＨ＝／6．
?10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
?讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ1／2ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏｇ1／2ｘ＜0，或ｌｏｇ1／2ｘ＞0．
从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1． ?11．函数ｙ＝ｘ＋
的值域为______________．
?讲解：先平方去掉根号．
由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）． 由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2． 由于
能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．
?说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．
?（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．
图3
?12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．
?讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．
?（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物，有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．
?（2）若Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物，有Ｐ４2种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同一种，则Ｂ有3
３
种方法，Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种，相同（只是次序不同）．此时共有Ｐ４×3（3×2×2）＝432种方法．
３３
?（3）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物，有Ｐ４种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此时共有Ｐ４×2×2×2＝192种方法．
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?根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案． ?说明：本题是一个环形排列问题．
三．解答题
13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得
a12(a1?2d)2?(a1?d)4 化简得：2a12?4a1d?d2?0 解得：d?(?2?2)a1
……………………………………………………… 5分
而?2?2?0，故a1＜0
a22 若d?(?2?2)a1，则q?2a1?(2?1)2
若d?(?2?2)a1，则q?a222a1?(2?1)2 ……………………………… 10分
2 但lim(b1?b2???bn)?n???2?1存在，故| q |＜1，于是q?(2?1)不可能．
从而
a122?2?1?1?(2?1)a1?(222?2)(2?1)?2
所以a1??2,d?(?2?2)a1?22?2 ……………………………… 20分
?x22?2?y?114．解：(1)由?a?2?y?2(x?m) 消去y得：x2?2a2x?2a2m?a2?0 ①
设f(x)?x2?2a2x?2a2m?a2，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况： 1°△＝0得：m?a2?12，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a． 综上可知，当0＜a＜1时，m?a2?12或－a＜m≤a；
当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积S? ∵0＜a＜
1212ayp
，故－a＜m≤a时，0＜?a2?aa2?1?2m＜a，
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由唯一性得 xp??a2?aa2?1?2m
xpa22 显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝1?取值最大，此时yp?2a?a2，
∴S?aa?a2． 当m?a2?12时，xp＝－a2，yp＝1?a2，此时S?12a1?a2212a1?a2．
下面比较aa?a2与 令aa?a2? 故当0＜a≤ 当
13?a?131212的大小：
13a1?a，得a?1212
2时，aa?a2≤时，aa?a2?a1?a，此时Smax?12a1?a2．
a1?a2，此时Smax?aa?a2．……… 20分
15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R i＝a i，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 …………………………………………………… 5分
证明如下：
1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则
1R?1R1?1R2．故交换二电阻的位置，不改
变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．
2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB RAB?R1R2R1?R2?R3?R1R2?R1R3?R2R3R1?R2
显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最 小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．
3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD
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若记S1??RiRj, S2??RiRjRk，则S1、S2为定值，于是RCD?S2?R1R2R3S1?R3R4
1?i?j?41?i?j?k?4 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小 ………………………………………………………………………… 15分
4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小． 而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，
这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分
2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆 ∴∠BDF＝∠BAC 又∠OBC＝
12(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC
∴OB⊥DF．
(2)∵CF⊥MA
∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE⊥NA
∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA⊥BC
∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB⊥DF
∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC⊥DE
∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得
NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2
∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50分
另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 kAC?? ∴直线AC的方程为y??ac(x?c)，直线
ac,kAB??ab
ca(x?b)
BE的方程为y?第 10 页 共 13 页