对小球进行受力分析：(如图) 由向心力的公式
Fn?mr?2 （6）
可知，半径大的，角速度小，故B错
正确解答：由于它们受力相同，向心力大小也相同，由向心力的公式
v2Fn?m （7）
r可知，半径大的，线速度大，故A错。 3.1.2 水平面内圆周运动方面的易错解析
水平面内的圆周运动相对于竖直面和斜面是最简单的，但是对于刚学圆周运动的学生，不了解圆周运动的特点、前面受力分析没掌握好，在这里还是容易犯错，常见的水平面内圆周运动有：单摆转动、物体在转台上转动等[8]。 例7如图所示，水平转台上放着A、B、C三物体，质量分 别为2m、m、m，离转轴距离分别是R、R、2R，与转 台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的是（ ） A. 若三物体均为滑动，C物体向心加速度最大 B. 若三物体均为滑动，B物体受摩擦力最大 C. 转速增加时，A物体比B物体先滑动 D. 转速增加时，C物体先滑动
【易错分析】三物体在同一转台上认为v应该相等，在这里是摩擦力提供向心力，由
2vAfA?2m （8）
R A B C 图7 转台上的 圆周运动图 2vBfB?m （9）
R7
2vC （10） fC?m2R得到aA?aB?2aC，fA?2fB?4fC当转速增大时C最先滑动，故选D。
正确解答：三物体虽然处于同一站台，但是v不一定都相等，而w都相等。由v?wr得到vC?2vA?2vB；又根据a?w2r得到2aA?2aB?aC，故选A，又因为静摩擦力提
v2供向心力，由f?m得到B受到的摩擦力应最小。当转速增加且滑动时，最大静
r摩擦力不足以停供向心力，f??mg，F?mwr2，C所需的向心力最大，提供的最少，故C先滑动。
3.1.3 竖直面内圆周运动方面的易错解析
竖直平面内圆周运动是考临界问题最多的题型，有时以选择题出现，有时在综合性计算题当中出现，多与机械能守恒，动能定理，动量守恒，牛顿定律等知识综合应用，学生在这里容易犯错[8]。
竖直平面内的圆周运动的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了 ，分以下几种情况讨论：无支撑物的物体做圆周运动（线模型）；有支撑物的物体做圆周运动（杆模型、轨道模型、车过桥）[9]。 （一）类问题：无支撑物体做圆周运动，实例有：绳拉球、水流星、外侧轨道的临界问题，此类问题的解题思路是一样的，即临界条件并求出临界速度。
例8如图所示，一摆长为R的单摆，摆球质量为m，要使摆球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，那么在最低点的速度v0至少为多大？ 【易错分析】这题犯错有两方面：一是没读懂题意摆球恰 好能在竖直面内做完整的圆周运动，求得是最低点的速度，
R 绳 一些同学都知道了在最高点时是重力提供向心力。
8
v0 图8 绳拉球在竖 直面内圆周运动图
v2G?m （11）
R
求得v?gR就认为是答案；还有一种常犯的错误是小球在运动过程
中绳子的拉力是时而存在时而消失，导致学生不知道怎么处理，容易认为绳子的拉力做了功，也就不会用到机械能守恒。
正确解答：小球受到重力与弹力（绳子的拉力）的作用，向心力公示的表达式为
v2G?F?m （12）
R弹力随着速度的增加而增加，减小而减小，当速度减小到F?0时，线速度具有最小
v2值，此时有G?m ，v?gR，所以F?0为小球恰好能过最高点的临界条件，临
R界速度为v?gR（注：如果小球的线速度小于gR，则会做向心运动），即小球能做完整的圆周运动的条件为F?0,此时v?gR。 从最低点到最高点的过程中，小球机械能守恒有：
112mv0?mv2?mg2R （13） 22而不脱离轨道最高点的最小速度v?gR，所以求得小球在最低点的速度最小值：
v0?5gR
例9使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？
【易错分析】根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A 时的势能等于它在圆形轨道最低点B时的动能（以B点作 为零势能位置），所以为
9
A 2R B 图9 小球在竖直圆轨道运动图
mg?2R?12mvB （14） 2从而得vB?2gR
小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足
2vAmg?NA?m （15）
R式中，NA为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA?0时，vA最小，vA?gR。这就是说，要使小球达到A点，则应该使小球在A点具有的速度vA?gR。 正确解答：以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。 小球在圆形轨道最高点A时满足方程
2vAmg?NA?m (16)
R根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程
1212 （17） mvA?mg2R?mvB22解(1)，(2)方程组得vB?5gR?RNA m当NA?0时，vB为最小，vB?5gR。
所以在B点应使小球至少具有vB?5gR的速度，才能使它到达圆形轨道的最高点A。 （二）类问题：有支撑物体做圆周运动，实例有：杆模型或者是双侧轨道（因为杆与绳子的弹力不一样，杆的弹力可以向各个方向，在最高点时，弹力的方向可以向上，也可以向下，所以弹力为零是临界条件，并且弹力可以为推力也可以为拉力。同样，双侧轨道内侧轨道弹力方向向上，外侧轨道弹力方向向下，上下弹力都为零为临界条
10
件。
例题10（1999年全国）长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0ms，g取10ms则此时细杆OA受到（ ）
A.6.0N的拉力 B.6.0N的压力
2 v0 A C.24N的拉力 D.24N的压力
【易错分析】分不清杆对小球是拉力还是压力而导致误选。 正解解答：对小球进行受力分析，在不知道弹力的方向情 况下，规定重力方向为正方向，列出向心力公式：
m L o 杆 图10 有杆的竖直面内圆周运动图 v2mg?F?m （18）
L解得F为正值，则与规定的方向相同（方向向下），如为负值则与规定的方向相反（方向向上）。数据代入求得F=—6N，所以为压力，方向向上。
例11一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1， B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式。
【易错分析】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有
2v0N1?m1 (19)
RB球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有
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